在理论物理学的前沿，许多最流行的想法都有一个共同点：它们都从一个数学框架开始，这个框架试图解释比我们目前流行的理论更多的东西。我们目前的广义相对论和量子场论框架在它们所做的事情上很出色，但它们并不是万能的。它们从根本上是不相容的，不能充分解释暗物质、暗能量，也不能充分解释为什么我们的宇宙充满了物质而不是反物质，以及其他谜题。

数学确实使我们能够定量地描述宇宙，如果应用得当，它是一种非常有用的工具。但宇宙是一个物理实体，而不是数学实体，两者之间有很大区别。这就是为什么单靠数学，我们永远不足以得出万物的基本理论的原因。

16 世纪最大的谜团之一是行星如何以逆行的方式运动。这可以通过托勒密的地心模型（左）或哥白尼的日心模型（右）来解释。然而，要获得任意精度的细节需要我们在理解观察到的现象背后的规则方面取得理论进展，这导致了开普勒定律和牛顿的万有引力理论。

大约 400 年前，一场关于宇宙本质的争论正在展开。几千年来，天文学家一直使用地心模型准确描述行星的轨道，在这个模型中，地球是静止的，其他所有物体都围绕着它旋转。借助几何数学和精确的天文观测——包括圆、等距圆、均轮和本轮等工具，天体轨道的精确数学描述与我们看到的景象相符。

然而，这种匹配并不完美，改进的尝试要么导致了更多的本轮，要么导致了 16 世纪哥白尼的日心说。通过将太阳置于中心，逆行运动的解释变得更简单，但与数据的拟合度更差。当约翰尼斯·开普勒出现时，他有了一个绝妙的想法，试图解决所有问题。

开普勒最初的太阳系模型，即由 5 个柏拉图立体组成，它们定义了 6 个球体的相对半径，行星围绕这些球体的圆周运行。这个模型虽然很美，但它无法像椭圆那样很好地描述太阳系，甚至无法像托勒密的模型那样很好地描述太阳系。

他注意到，如果算上地球（不包括月球），行星一共有六颗。他还注意到，从数学上讲，只有五种柏拉图立体：五种数学对象，它们的面都是等边多边形。通过在每个立体的内部和外部画一个球体，他可以将它们“嵌套”，使其与行星轨道完美契合。这是一个绝妙而美丽的数学模型，可以说是构建我们今天称之为“优雅宇宙”的首次尝试。

但从观测上看，它失败了。它甚至不如古老的托勒密模型，包括本轮和均轮。这是一个绝妙的想法，也是第一次尝试仅从纯数学的角度来论证宇宙应该是什么样子。但它就是行不通。

而接下来发生的一次天才之举成就了开普勒的传奇。

开普勒第二定律指出，无论其他参数如何，行星以太阳为中心，在相等的时间内扫过相等的面积。在固定的时间段内，扫过相同（蓝色）的面积。绿色箭头表示速度。指向太阳的紫色箭头表示加速度。行星绕太阳以椭圆轨道运行（开普勒第一定律），在相等的时间内扫过相等的面积（开普勒第二定律），周期与其半长轴的 3/2 次方成正比（开普勒第三定律）。这些定律同样适用于任何引力太阳系。

他抛弃了那个与观测结果不一致的漂亮、优雅、引人注目的模型。相反，他深入研究数据，寻找哪些类型的轨道与行星的实际运动相匹配，并得出了一系列科学（而非数学）结论。

1. 行星并不围绕位于中心的太阳做圆形运动，而是以太阳为焦点，在椭圆轨道上运行，每个行星的椭圆轨道都有不同的参数描述。

2. 行星并不是以恒定的速度移动，而是以随着行星与太阳的距离而变化的速度移动，这样行星在相同的时间内扫过相同的面积。

3. 最后，行星的轨道周期与每个行星椭圆的长轴（主轴）成正比，并以特定的幂为单位（确定为 3/2）。

动画显示了四颗超级木星行星在恒星周围轨道上的直接图像，恒星的光线被日冕仪遮挡，被称为 HR 8799。这里显示的四颗系外行星是最容易直接成像的行星之一，因为它们体积大、亮度高，而且与母星的距离很大。这些行星绕恒星运行遵循的开普勒定律与我们太阳系中的行星相同。

这是科学史上的革命性时刻。数学不是支配自然的物理定律的根源；它是一种描述自然物理定律如何表现的工具。这一重大进步是科学需要以可观察和可测量为基础，任何理论都需要面对这些概念。没有它，进步就不可能实现。

这个想法在历史上一次又一次地出现，因为新的数学发明和发现赋予了我们新的工具来尝试描述物理系统。但每次，都不仅仅是新的数学告诉我们宇宙是如何运作的。相反，新的观察告诉我们，需要一些超出我们目前理解的物理学的东西，而纯数学本身不足以让我们实现这一目标。

我们经常将空间想象成一个三维网格，尽管当我们考虑时空概念时，这是一种依赖于框架的过度简化。实际上，时空因物质和能量的存在而弯曲，距离不是固定的，而是可以随着宇宙的膨胀或收缩而变化。在爱因斯坦之前，空间和时间被认为是固定的，对每个人来说都是绝对的；今天我们知道这是不可能的。

到 20 世纪初，牛顿力学显然陷入了困境。它无法解释物体如何以接近光速的速度运动，这导致了爱因斯坦狭义相对论的出现。牛顿的万有引力理论也陷入了同样的困境，因为它无法解释水星绕太阳的运动。时空等概念才刚刚形成，但非欧几里得几何（空间本身可以是弯曲的，而不是像 3D 网格一样平坦）的概念已经在数学家中流传了几十年。

不幸的是，开发一个描述时空（和引力）的数学框架需要的不仅仅是纯数学，还需要以特定的、经过调整的方式应用数学，以便与对宇宙的观察相一致。这就是为什么我们都知道“阿尔伯特·爱因斯坦”这个名字，但很少有人知道“大卫·希尔伯特”这个名字。

放置质量块后，原本是“直线”的线条将不再是空的三维网格，而是弯曲了一定量。地球引力作用导致的空间曲率是重力势能的一种可视化形式，对于像我们这个星球这样巨大而紧凑的系统来说，重力势能可能是巨大的。

两人都提出了将时空曲率与引力、物质和能量的存在联系起来的理论。他们都有相似的数学形式；如今，广义相对论中的一个重要方程被称为爱因斯坦-希尔伯特作用。但希尔伯特提出了自己的、独立于爱因斯坦的引力理论，他的抱负比爱因斯坦更大，他的理论既适用于物质和电磁学，也适用于引力。

这显然不符合自然规律。希尔伯特构建了一种数学理论，他认为这种理论应该适用于自然，但他始终无法得出预测引力定量效应的成功方程。爱因斯坦做到了，这就是为什么场方程被称为爱因斯坦场方程，而没有提到希尔伯特。没有与现实的对抗，我们就没有物理学。

电子既具有波的特性，又具有粒子的特性，因此可以像光一样用于构建图像或探测粒子大小。在这里，您可以看到实验结果，实验中电子一次一个地通过双缝发射。一旦发射了足够多的电子，就可以清楚地看到干涉图样。

仅仅几年后，这种几乎相同的情况在量子物理学中再次出现。你不能简单地将电子发射到双缝中，然后根据所有初始条件知道它会在哪里结束。需要一种新的数学——一种植根于波力学和一组概率结果的数学。今天，我们使用向量空间和算子的数学，物理学生听到一个可能听起来很熟悉的术语：希尔伯特空间。

同一位数学家大卫·希尔伯特 (David Hilbert) 发现了一组数学向量空间，这对量子物理学来说大有裨益。只是，再一次，它的预测在面对物理现实时不太合理。为此，需要对数学进行一些调整，创建一些人称之为操纵的希尔伯特空间或物理希尔伯特空间。（其中希尔伯特空间的“内积”受到物理限制，但并非出于任何数学动机。）数学规则需要在某些特定限制下应用，否则我们预测的物理宇宙的结果将永远无法与现实相符合。

所有已知基本粒子的弱同位旋 T3、弱超电荷 Y_W 和色荷模式，按弱混合角旋转，显示电荷 Q，大致沿垂直方向。中性希格斯场（灰色方块）打破了电弱对称性，并与其他粒子相互作用，赋予它们质量。该图显示了粒子的结构，但根植于数学和物理学。

如今，在理论物理学中，利用数学作为更基本的现实理论的潜在途径已经变得非常流行。多年来，人们尝试了许多基于数学的方法：

· 施加额外的对称性，

· 添加额外的维度，

· 在广义相对论中添加新领域，

· 在量子理论中添加新领域，

· 使用更大的群（来自数学群论）来扩展标准模型。

这些数学探索很有趣，并且可能与物理学相关：它们可能包含有关宇宙可能蕴藏的超出目前所知的秘密的线索。但仅凭数学无法告诉我们宇宙是如何运作的。如果不将其预测与物理宇宙本身进行对比，我们将无法获得明确的答案。

要将单位八元数的乘法可视化，需要从更高维度思考（左图）。图中还显示了任意两个单位八元数的乘法表（右图）。八元数是一种迷人的数学结构，但为无数可能的物理应用提供了非唯一解。

从某种程度上来说，这是每个物理系学生第一次计算物体被抛向空中的轨迹时学到的一课。物体会飞多远？它会落在哪里？它会在空中停留多长时间？当你解出控制这些物体的数学方程式——牛顿运动方程式时，你得不到唯一的“答案”。你会得到两个可能的数学答案。

但实际上，只有一个物体。它只遵循一条轨迹，在特定时间降落在一个位置。哪个答案与现实相对应？数学不会告诉你。为此，你需要了解所讨论的物理问题的细节，因为只有这样才能告诉你哪个答案背后有物理意义。数学会让你在这个世界上走得很远，但它不会带给你一切。没有面对现实，你就不可能理解物理宇宙。

--------------------------------

本文转自公众号一座宁静的书屋