考虑正弦函数的幂级数展开$$S=(\sum_{i=0}^{j}\frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}r^{2i+1})_{i\in\mathbb{N}}, 0\leq r\leq2\pi。$$那么$S$是否是柯西序列？

令$\varepsilon>0$。是否存在$N>0$使得对于任意$m,n\geq N$，都有$$\left|\sum_{j=n}^{m}\frac{(-1)^{j}}{(2j+1)!}r^{2j+1}\right|\leq\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}r^{2j+1}<\varepsilon？$$

证明1：众所周知，$\sin x$的幂级数展开在任意地方都是收敛的（你可以使用比值审敛法来证明这个结论），然后所有收敛数列都是柯西的，因此$S$是柯西序列。

证明2：既然这是研究一个紧致集里的级数，最简单的方法是用下面的不等式：

$$\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}r^{2j+1}\leq\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}(2\pi)^{2j+1}<\varepsilon$$

其中$n$足够大。后面的级数就是一个收敛级数（比值审敛法，......），因此$\varepsilon$一定能任意小。

所以，$S$是柯西序列。

证明3：考虑不等式：

$$\sum_{j=1}^{\infty}\frac{1}{(2j+1)!}r^{2j+1} \leq e^{r}<\infty$$

你能够给出完整的证明3吗？🤔