弦圈

提问：我需要仅通过不等式证明$\forall x \in \mathbb{R}$：$$\frac{x(1-x)^2}{(1+x^2)^2} \leq \frac{1}{4}$$不考虑函数$f(x) = \frac{x(1-x)^2}{(1+x^2)^2}$。我尝试证明差$$\frac{x(1-x)^2}{(1+x^2)^2} - \frac{1}{4}$$是负数，因此我发现接着我们需要证明$$-x^4+4x^3-10x^2+4x-1 \leq 0$$但没有任何结果。你有办法证明这一点吗？回答：你已经快要解决了。只需要用另一种方式将你的不等式写出来：$$x^4-4x^3+10x^2-4x+1\ge 0$$现在注意到$$\begin{align*}x^4-4x^3+10x^2-4x+1&=(x^4-4x^3+6x^2-4x+1)+4x^2\\&=(x-1)^4+(2x)^2\\&\ge 0\end{align*}$$翻译自Mathstackexchange：inequality without using study of function

考虑正弦函数的幂级数展开$$S=(\sum_{i=0}^{j}\frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}r^{2i+1})_{i\in\mathbb{N}}, 0\leq r\leq2\pi。$$那么$S$是否是柯西序列？令$\varepsilon>0$。是否存在$N>0$使得对于任意$m,n\geq N$，都有$$\left|\sum_{j=n}^{m}\frac{(-1)^{j}}{(2j+1)!}r^{2j+1}\right|\leq\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}r^{2j+1}<\varepsilon？$$证明1：众所周知，$\sin x$的幂级数展开在任意地方都是收敛的（你可以使用比值审敛法来证明这个结论），然后所有收敛数列都是柯西的，因此$S$是柯西序列。证明2：既然这是研究一个紧致集里的级数，最简单的方法是用下面的不等式：$$\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}r^{2j+1}\leq\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}(2\pi)^{2j+1}<\varep ...

学习数学分析Day2：我感觉非常地不适应，感觉书本里有些说法不够严格、不够准确。比如说开篇讲的ordered set，作者直接把order定义为一个strict total order，根本没有多讲order in general是什么。其实order就是一个二元关系，而一个集合$X$上的二元关系即是这个集合的Cartesian product $X\times X$的一个子集。如果说这本书作者默认书中的order就是strict total order就算了，他讲order也没有告诉你它的definition是什么，只是提到了它的两个性质，这是什么意思？通过性质反推定义？？另一个我不喜欢的地方就是定义上确界和下确界的地方，本书通过一个全序集来定义下界和上界，进而导出上确界与下确界的定义。这个procedure没有问题，问题在于下界与上界的定义不够general，难道偏序集就不能定义下界和上界了吗？如果一个集合里定义了一个序关系，不是任意两个元素之间都一定有关系的。总结：baby rudin（数学分析原理）这本书十分适合初学者入门，但不适合重新补学，因为是入门教材，为了便于读者理解，作 ...

学数学学了那么久，今天终于开始系统地学习数学分析。之前以为数学系也是学高等数学那本东西的，结果发现数学系学的是数学分析，不学高等数学。而我以前还以为数学分析=实分析+复分析呢。因此当初我没有学过数学分析，就直接去学泛函分析、实分析、复分析、一般拓扑学去了。说到这，我不得不佩服当初的自己，几乎零基础的情况下还敢跳空去学，仅仅是为了满足内心的好奇。当时我才15岁，15岁多好的年龄啊！我现在多想回到15岁，去弥补过去的一些不完美的遗憾。当时数学的大门向我打开，我为数学还能展现出如此抽象的形式而惊奇，我为数学那摸不清的神秘“深渊”而感到震惊，还有那说不清的美妙。。。。于是，我凭一己之力，尽全力去理解那些让人挠破脑子的概念，不断疏通数学的脉络，学不会就再来一次。这其中不知经历了多少风雨与折磨，我不知多少次想过去放弃，最后我学到了研究生。直到那时我才开始明白什么才是真正的数学，而以前的我是多么的无知。我开始对本科的数学感到“乏味”，一心想要专研研究生的数学，因为那才算是真正的数学，又或者说那是真正数学的开始。现在不知道看过多少书，学过多少东西，苦苦冥思过多少次，我终于开始觉得研究生的数学简单了，但 ...

数分1-3学习总结😟：虽然我不喜欢数分，但是数分确实是不少数学分支的基础，诸如泛函分析、下学期即将学的ODE、PDE、微分几何等等，都需要数分的基础。因此，学好数分确实有必要，但是也没必要花过多的时间在里面。数分1中，我们首先学习了上确界和下确界，这两个概念在分析中非常重要。接着学习了实数域的阿基米德性，根据实数域的阿基米德性，我们可以加以推广，推广到一个ordered abelian group上面，接着我们有了阿基米德性质的乘法版本。同时，实数域的阿基米德性允许我们定义一个域上的阿基米德绝对值，而如果这个绝对值是非阿基米德的，那么就引出了所谓的非阿基米德分析。接着我们学习了极限，知道了如何用epsilon-delta语言描述极限，这里极限的定义借助于一个特定的度量，如果去掉这个度量我们还能定义一个极限吗？答案是可以，在一个拓扑空间中，我们可以借助邻域来定义极限，无需任何距离。数分2中，我们学习了级数，并得出结论，一个级数收敛的必要条件是系数构成的序列趋于0。然而在非阿基米德分析中，如果我们考虑非阿基米德绝对值，那么就能得出级数收敛的充要条件是系数构成零序列。数分3中，我们学了多元函 ...

之前是我草率了，其实像数学分析、高等代数这些本科最初步的课程没有参考文献也是可以的。毕竟这些知识都已经存在上百年了，并且被社会各界广泛接受，都已经是被认为是常识性的知识，因此是否引用已经不重要了。我发现国外的Calculus之类的书也是没有参考文献的。但是国内的教材对一些概念的说法跟国外差别较大，我认为这是不利的，虽然在数分、高代这种初步入门课程里面，中文的一些叙述可能比英文的要简便明了。比如说：极大值和最大值，国外是叫做local maximum与global maximum，而maximum与minimum又被统称为extreme value，也就是说国外的极值跟国内的极值是有区别的，用中文的话这反而容易弄清楚，但这只是个例。总之，还是希望以后的教材能够多多与国际接轨吧，尤其是高中课本那个函数的定义，能不能是集合之间的，而不再是数集之间的，你都把function译作函数了，为什么就不紧跟国际的步伐呢，这无疑是给以后做研究的学生增加不必要的理解障碍。还有，即便数分、高代可以不引用参考文献，也不代表本科的教材都不需要，国内的教材我感觉参考文献做得挺草率的，就比如说我们用的计算机组成原理 ...

1. Mean value theoremsTheorem 1.1. ($\color{red}{\textrm{Rolle's Theorem}}$) Let $f$ be a function that satisfies the following conditions:$f$ is ${\color{Cyan}{\textrm{continuous}}}$ on the ${\color{orange}{\textrm{closed}}}$ interval $[a,b]$.$f$ is ${\color{Cyan}{\textrm{differentiable}}}$ on the ${\color{orange}{\textrm{open}}}$ interval $(a,b)$.$f(a) = f(b)$Then there exists $\zeta\in(a,b)$ such that $f'(\zeta) = 0$.Theorem 1.2. ($\color{red}{\textrm{The Mean Value Theorem}}$) Let $f$ be a f ...