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10.25弦圈内容更新计划

发布时间：2024-10-25 13:23:57阅读量：13
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最近这段时间，我会持续更新数学圈的百科词条，并且会同时更新中英文版，好歹能中英对照一下。顺便会将原本的一些英文词条翻译成中文，让更多人能读得懂优质的英文内容。

然后我还会继续翻译一些MathStackExchange的提问和回答。除了比较烧脑的内容，我还打算更新一下趣味数学题，虽然这些题目大多数实在太简单，但主要是为了娱乐和放松头脑，要劳逸结合嘛😆。

接着我还会继续更新一下帮助中心，将弦圈的一些细节和功能解释清楚。

如果你有什么想看的感兴趣的内容，欢迎在下面评论！😇

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可代表层的满射性

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正弦函数的幂级数展开是否是柯西序列？

考虑正弦函数的幂级数展开$$S=(\sum_{i=0}^{j}\frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}r^{2i+1})_{i\in\mathbb{N}}, 0\leq r\leq2\pi。$$那么$S$是否是柯西序列？令$\varepsilon>0$。是否存在$N>0$使得对于任意$m,n\geq N$，都有$$\left|\sum_{j=n}^{m}\frac{(-1)^{j}}{(2j+1)!}r^{2j+1}\right|\leq\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}r^{2j+1}<\varepsilon？$$证明1：众所周知，$\sin x$的幂级数展开在任意地方都是收敛的（你可以使用比值审敛法来证明这个结论），然后所有收敛数列都是柯西的，因此$S$是柯西序列。证明2：既然这是研究一个紧致集里的级数，最简单的方法是用下面的不等式：$$\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}r^{2j+1}\leq\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}(2\pi)^{2j+1}<\varep ...