我的提问：令$S$为一个基概形，并令$(Sch/S)_{fppf}$为一个大fppf景。令$U$为一个$S$上的概形。假设存在一个满射态射$\Phi_{U}:U\rightarrow U$。那么我们能证明导出的层态射$h_{U}\rightarrow h_{U}$局部满射的？这看起来是错误的。

注意到$h_{U}={\rm{Hom}}(-,U)$是一个可代表层。一个$(Sch/S)_{fppf}$上的层映射$F\rightarrow G$是局部满射的，如果对每个概形$U\in{\rm{Ob}}((Sch/S)_{fppf})$和每个$s\in G(U)$，都存在一个覆盖$\{U_{i}\rightarrow U\}_{i\in I}$，使得对所有$i$，$s|_{U_{i}}$在$F(U_{i})\rightarrow G(U_{i})$的像中。

回答：令$S:={\rm Spec}(k)$为一个域，并且令$U={\rm Spec}(k[t]/t^2)$。

环$k[t]/t^2$是一个$k$-代数，并且存在一个$k$-代数映射$k[t]/t^2\to t$，其将$t$打到$0$，所以我们得到态射$U\to{\rm Spec}(k)$和${\rm Spec}(k)\to U$。

令$a:U\to U$为这两个态射的复合。这是满射的。

现在如果你问题的答案是正确的，则存在一个忠实平坦态射$b:V\to U$和一个元素$\rho\in{\rm Hom}(V,U)$使得$a\circ\rho=b$（将局部满射性用于${\rm Id}_U\in{\rm Hom}(U,U)$）。换句话说，态射$a_V:U\times_U V\to V$有一个截面。然而如果态射$a_V$有一个截面，那么由态射$S={\rm Spec}(k)\to U$的基变换得出的态射$S\times_U V\to V$，也有一个截面。态射$S\times_U V\to V$是一个闭浸入，因此由于它有一个截面，它是一个同构。同构沿着忠实平坦态射下降，所以我们推断出${\rm Spec}(k)\to U$是一个同构，这是错误的。所以这提供了一个反例。