我的提问：令$(\Gamma,+,\leq)$为一个有序阿贝尔群。我们知道阿基米德性质可以表述为：对所有$a,b\in\Gamma$，如果$a>0,b\geq0$，则存在$n\geq0$使得$b\leq na$。然而如果我们考虑乘法的情况，即有序阿贝尔群是$(\Gamma,\cdot,\leq)$。是否存在乘法形式的阿基米德性质？我认为存在。并且我对它的描述如下：对于所有$a,b\in\Gamma$，如果$b<1,a\leq1$，则存在$n\geq0$使得$b^{n}\leq a$。这是正确的吗？

实际上，我没能证明它等价于$\Gamma$有凸秩1。

回答：你正确地叙述了阿基米德性质的乘法版本。

令$\Gamma$为一个满足阿基米德性质的有序乘法群。

假设$H$是$\Gamma$的一个凸子群，且满足$H\ne \{1\}$。令$1\ne x\in H$。然后有$\{x,x^{-1}\}\subset H$，且$\{x,x^{-1}\}$中的一个成员是$>1$。因此，不失一般性，令$1<x\in H$。

(i). 如果$1\le y\in\Gamma$，存在$n\in \Bbb N_0$使得$y\le x^n\in H $。但是$H$是凸的，且有$\{1,x^n\}\subset H$和$1\le y\le x^n$，因此$y\in H$。

(ii). 如果$1>z\in \Gamma$，然后有$1<z^{-1}$，因此$z^{-1}\in H$由(i)，因此$z\in H$。

所以$H=\Gamma$。

因此$\Gamma$唯一的凸子群是$\Gamma$和$\{1\}$。

附录。假设$\Gamma$为阿贝尔的是不必要的。非阿贝尔有序群是存在的。但是通过初等的方法（但不简便），我们可以证明如果$\Gamma$是一个满足阿基米德性质的有序群，则存在一个从$\Gamma$到加法实数子群的有序群同构。这表明$\Gamma$是阿贝尔的。