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任意一个范畴之间的本质满射都是一个满态射吗？

发布时间：2024-10-21 23:31:32阅读量：84
学术文章
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笔记
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写作类别
Category thoery
Homological algebra

我的提问：令$\cal{C},\cal{D}$为范畴（或者栈）。令$F:\cal{C}\rightarrow\cal{D}$是一个本质满射的函子，即在对象同构类上满射。然后$F$是小范畴（或者栈）范畴中的一个满态射吗？

回答：不是。例如，任何一个对象的范畴之间的函子是本质满射的，但是如果$M_1, M_2$是两个非零幺半群，那么一个直和项的包含映射$M_1 \to M_1 \oplus M_2$，看成是两个单对象范畴间的一个函子，不是一个范畴的满态射。

不过记住，“小范畴范畴中的满态射”由于多种原因，在任何特定应用中，都显然不是“正确”的概念。它抛弃了自然变换，所以你忽略了这样一个事实，即你其中在2-范畴里操作；并且在任何特定情况下，你可能需要各种“满态射”的概念。

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