Atiyah:Commutative Algebra使用攻略

刷题刷傻了~

这次是交换代数的经典教材，M.F.Atiyah，I.G.MacDonald的Introduction to Commutative Algebra，以下简称A&M。A&M在知乎上也很有声誉，基本是公认的交换代数入门书。A&M很薄，128页，我大概读了二十余天，习题全部刷完了，觉得相当有收获。难度有，但并没有想象中的大，我完全能接受。A&M几乎绝版了，不过可以去专门进口书店买到，打印也不失为一个好选择。

说起来我本来打算把交换代数放在明年再读的，但恰逢我校大二同学开展了一个交换代数讨论班，用的这本书，并且我导也推荐我现在读，所以大概就是这时候读了。确实感觉时机刚刚好。

A&M是写给上个世纪七十年代的三年级本科生的讲义，很多地方不经雕琢，自成璞玉。形式化风格很是明显，鲜有大段启发性的说明或展示动机，大多是定义，定理，命题，推论的罗列，很“干”。一些证明也比较简洁，用作者自己的话说，他省去了机械的步骤；但相对的，我觉得他重要思路都点到了，真正跳步的地方比较少。我很喜欢这本书，首一的优点，它很薄，且基本的交换代数都覆盖到了，第二，它习题非常优秀，200余道，质量相当高，提示相当到位，谁刷谁知道，是我这种做题家的福音，第三，它的一些在代数几何中的应用不是没有，而是出现在了习题里。所以看这本A&M主要要做习题。

此书可以找到完整答案，相关资源也很丰富，非常友好。我也参考了一些。

勘误不是特别多，可以接受。下面一个链接是mathoverflow上的总结的一些勘误：Errata for Atiyah–Macdonald

我觉得我也没什么好说的，没有什么特别有意思的东西，也许是做个提纲？

下面正式开始：

1.准备知识：

线性代数，抽象代数。环一定要学好，标准的抽象代数教材里环一般分两个专题：唯一分解整环和多项式环，这是一定要熟练掌握的。如果学过一点模的话自然更好，比如主理想整环上有限生成模结构定理什么的，这种结论在此书里也是随意使用，假定掌握了的。域的话用不到Galois理论，但会用到一些正规，可分扩张的概念，问题不大。

范畴论，同调代数。此书没怎么使用范畴论的抽象废话，所以不需要严肃的范畴论。同调代数方面一个是蛇形引理，一个是Tor函子（习题里出现的），不会的话临时补也没有问题。

拓扑学。主要是点集拓扑，知道基本的概念，结论就可以了。这本书里研究的拓扑大多比较奇怪，以至不能从欧氏空间角度直观处理问题，所以回归定义形式地考虑问题，把它当成代数学考虑是最好的选择。

参考书目：

【1】、交换代数与同调代数，李克正

查了一些同调代数知识。

【2】、A Course in Commutative Algebra, GTM256, Gregor Kemper

也是一本入门书，讲得较几何化。

【3】、A Term of Commutative Algebra By Allen B. ALTMAN and Steven L. KLEIMAN

作者用现代语言将A&M重写了一遍，并附上了所有习题解答和索引，天地良心！

2.章节具体介绍：

前三章是最基本的概念，结论，也占了本书将近一半的篇幅。四到九章是更进一步的结果。十、十一章介绍了完备化和维数理论，难度有所升级。

进度大概是每天干十道题，由于章节分布不均，有的要看三天，有的只看了一天。

习题的话页数按章序打一下：8-5-8-5-6-2-5-1-2-3-1（最后一章略了一些细节）总页数46，赶上四分之三本Big Rudin了哈。

第一章 环与理想

我讲了这一章的讨论班，大概花了三个小时。此章引入了一些概念，诸如幂零根基，Jacobson根基什么的。命题1.11是比较重要的，注意有限在代数里的重要作用。Zariski拓扑是在习题里出现的，并且贯穿了以后几乎所有章节的习题，足以显示其重要性。其实这个拓扑是素理想间序关系诱导的拓扑，所以要论证某映射诱导同胚当且仅当它保序，这是个直观的，值得注意的一个点。习题里也介绍了仿射代数簇，多项式映射什么的。我比较喜欢的是题26的结论——这也在Big Rudin里出现过。

第二章 模

主要的对象是正和列、张量积。这一章是可以讲得比较范畴化的，但是它处理的还是比较初等。命题2.4实质是Hamilton-Cayley定理。注意代数的环有限和模有限之不同。习题里也介绍了正向极限。24到28结论比较重要，但需要一点同调代数里Tor函子的基本性质，这些都可以查到，不是很难。

第三章 分式环与分式模

这章介绍了取分式这一操作——这可以与取商环同等地视作交换代数中最重要的两个操作，前者决定出确定理想里的理想，后者则决定出含确定理想的理想。这一过程也被称为局部化，它是非常有意义的，它也可以实现一些局部性质和整体性质间的转化。这一章的习题比较难，有一系列关于平坦，绝对平坦，忠实平坦的定义、判别法，也介绍了一些层的概念。一些习题画交换图会变简单。

第四章 准素分解

处理了准素分解的两种唯一性，作者说这是比较古典的内容了。习题17、18是比较有意思的，稍微用了一点超限归纳。我觉得良序定理，序数和超限归纳配合，是非常有力的工具。

第五章 整性与赋值

整性也是一个非常重要的概念，它本质上是通过命题5.1刻画的，它有将环有限转化为模有限的能力。注意上升定理和下降定理可以用来刻画环的维数，也可以诱导出Zariski拓扑诱导的连续映射的一些性质。赋值环最重要的也许是其理想的全序性吧。习题中出现了Noether正规化定理和零点定理，它们是很有几何意义的，但我个人觉得顺序稍有问题，也许正确的顺序是16，18，17，并且17第一问的陈述也有问题，应该是要证明理想不空时，对应代数簇也非空。

第六章 链条件

介绍了升链条件与降链条件，Noether模与Artin模的一些基本性质。看到这里我觉得可以补充一点模的Jordan-Holder定理什么的。

第七章 Noether环

Hilbert基定理是比较重要的。后半部分建立了Noether环上的准素分解，与第四章呼应，这也表明了含Noether环中理想的极小素理想个数是有限的，这会在第十一章讨论维数时用到。习题里介绍了Grothendieck群，这是一种解决问题的范式，很有意义。

第九章 Artin环

摘引书中一句话，大意是Artin环不是因为其广泛而被研究，而是因为其特殊性而被研究。对它，我们可以将其分解为一些Artin局部环的乘积，这就是Artin环的结构定理。

第九章 离散赋值环与Dedekind整环

离散赋值环实际上相当于局部的主理想整环，而Dedekind整环就是由这些环拼接起来的。还有两种等价刻画，通过特殊的准素分解，或是通过分式理想群。习题里面可能会发现一些类似主理想整环的性质，这是因为那些性质是局部性质，而Dedekind整环每一局部均是主理想整环。这一章的习题貌似要大量使用主理想整环上的有限生成模分解。

第十章 完备化

这一章难度有所提升，幸好我有一点p进数的底子。讲到了逆向极限，大量使用了蛇形引理。习题里提到了很广泛版本的Hensel引理。

第十一章 维数理论

介绍了对Noether局部环维数的三种等价刻画：最长的素理想列，长度决定的特征多项式的次数，极大理想根基意义下生成元的最小个数。这实在是很优美的结论。最后也证明了在代数几何中局部维数与超越维数之统一。

3.总结与建议：

这本书整体还是很代数的，内容也未有过时，一些处理可能不是最好的，但也相当精彩，让人看完后很有体会，可以学到很多。A&M小册子的体量也让我读得十分上头，果然只有小册子才能让我产生一口气读完的冲动。

依我的经验看，通读此书并未出现任何不适。也许它动机不甚明显，但我个人认为环与模本身就是很有意思的结构，一些几何观点能帮助理解自然是锦上添花，严肃的代数几何也许专门去学也行。

希望我能不要忘记我学的，至少要用的时候捡得起才好。

下一本是Fulton的代数曲线，这没有合我年初定的计划，果然计划都是用来打破的哈。正好可以磨砺磨砺刚学的交换代数，今天稍微看了看，好像不是很难，希望能继续效率拉满地学习。

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