令$A,B$为特征$p$的交换环。令$\phi_{A}:A\rightarrow A,\phi_{B}:B\rightarrow B$为Frobenius态射，即$p$次方映射。如果我们有 ${\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}A\cong {\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}B$，其中transition映射为Frobenius态射，那么我们可以得出$A\cong B$吗？

答案：不能。回顾一下，一个$\mathbb{F}_p$-代数$R$是完美的，如果它的Frobenius映射$\varphi : R \ni r \mapsto r^p \in R$是一个同构。Frobenius态射的次方的余极限${\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}R$是$\mathbb{F}_p$-代数$R$的完美化，并且它这样命名是因为它是完美$\mathbb{F}_p$-代数到$\mathbb{F}_p$-代数的包含映射的左伴随。这使得完美$\mathbb{F}_p$-代数构成了一个$\mathbb{F}_p$-代数的反射子范畴，这意味着在完美化下，任何完美的$\mathbb{F}_p$-代数固定不变。

这是接下来更加具体的反例的所有抽象背景：取$A = \mathbb{F}_p[x]$，它的完美化是$\mathbb{F}_p[x^{\frac{1}{p^{\infty}}}]$，这是一个通过邻接所有$x$的$p^n$次方根得到的环。然后取$B = \mathbb{F}_p[x^{\frac{1}{p^{\infty}}}]$为$A$的完美化。更一般的，我们可以取$A$为任何不完美的$\mathbb{F}_p$-代数，然后取$B$为它的完美化。

Bhatt写的notes中的Remark 1.4前有一个更加一般的论断，这是关于什么时候两个代数有同构的完美化。但是我对泛同胚还不够熟悉，无法对此发表任何评论。