首先$\Rightarrow$显然成立，直接反证法，假设所有$\varepsilon>0$所有$A$中距离小于$\varepsilon$的点都不在$O$内。这显然是错的，所以矛盾，$\Rightarrow$得证。

接着$\Leftarrow$，这其实就是开集定义的意思，所有$A$中距离小于$\varepsilon$的点，不就是一个开邻域吗？翻译过来意思就是$O$中的每个点都存在一个开领域包含于$O$中。

至于有没有推荐的点集拓扑教材，首先我没系统的学过点集拓扑，我当初的拓扑学基础都是靠一些零散的知识拼凑起来的，因此我推荐的教材不一定合适你。我推荐的教材站内都有，分别是

1. Dugundji拓扑学基础教材Topology
2. Tammo Tom Dieck代数拓扑教材的第一章
3. Loring W Tu微分几何经典入门教材：An Introduction to Manifolds的附录部分