前辈们好,本人是一名大二数学系学生,目前大致了解点集拓扑基本概念(但还没怎么做题),代数拓扑看过基本群和同伦型,复变和抽代这学期正在学。之所以问这个问题是因为之前看到中科大梁永祺老师的主页看到了这样一句话:
让我感觉非常奇妙,也想见识一下这精华的部分(希望在大四毕业前能做到吧!😭),也激发了我学习代数与几何方向的想法。其中代数方向其实学习路径了解的差不多了,大致就是学完抽象代数后同调、交换和lie代数都可以学了,但几何方向还不甚了解,很多几何方向的课学校都是大三大四才有,甚至开不出来,因此只能自行学习。
这个问题其实之前也问了不少前辈,但发现每个人的学习路径(有的是从微分几何上同调那边学,有的是先接触的代数拓扑等)都不一样,而几何方向又十分繁杂,理不清学习顺序,手头上有很多纸质书、电子书、网课等也无从下手;或者有些内容可能比较难且深入某个具体方向,以后不做这个方向可能根本不会用到,不知道该学多少合适。所以想多听取一点建议以便自己之后逐一尝试,例如:学习路径、参考书目、课程视频等等。谢谢各位!😘
1个回答
This person is lazy, nothing was left behind...
当你瞄不准方向而感到迷茫的时候,兴趣就是最好的指路明灯。你大可以不同方向都尝试一下,从中选择出一条最适合自己、同时也是自己最喜欢的方向。
我当初也是通过这样大量的阅读,阅读不同数学分支的教材,然后从中选择了当时最感兴趣的微分几何和代数几何作为进一步深入的目标。紧接着,随着继续深入,我选择全身心投入到代数几何当中。到了大学,我又进一步深入,在代数几何好多个大方向中选择了算术几何。
所有的确定的方向或者说路径,都有一个过程,而这个过程需要自己去发现,别人的只能参考不一定适合自己。因此,我也给些建议给你参考吧。
首先,想要看懂SGA,尤其是SGA1并不需要太多的基础。其虽相比于一般的文献,确实有一定的门槛,但其主要障碍是阅读法语,以及适应Grothendieck的那种抽象式语言表达。其余的前置知识,你可以通过阅读其他的一些教材轻松补上。
对此,我的建议是直接上手读SGA1,遇到不懂的知识再查书补上,或者说先通读一遍,记住有啥知识点是自己不知道的,然后之后针对性的学这方面的知识。因为你手头上已经有不少书,同时,你也不清楚自己具体需要学什么,因此我觉得这种方式是最高效的,同时也是可行的。
这个问题其实是所有学数学的人,过渡到research阶段都需要面临的问题,文献太多根本读不完,天天说补基础再学,结果就是基础根本补不完。只有掌握了我说的那种高效的方法,才算是真正拥有一定的research能力。不过过程会有点折磨,首先是你需要忍受不熟悉法语,即语言上的折磨,其次你还需要忍受看不懂了还继续看下去,即知识理解上的折磨。
SGA1前几章其实主要讲的是étale morphism、smooth morphism、flat morphism,接着才是基本群。而平展态射、光滑态射、平坦态射,这些都可以算是现代代数几何最基本的概念了,随便一本全面一点的代数几何教材都会涉及到这方面的知识,如Bjorn Poone的Rational points on varieties。
言下之意,其实哪怕你不看SGA,也会有很多文献能够替代SGA,这里推荐Stack Project。数学圈里都说看不了EGA、SGA,可以看Stack Project,Stack Project其实就可以看作EGA、SGA的英文替代版,而且与时俱进。如果你想少受点折磨,那么你完全可以先看Stack Project,等有了一定的数学成熟度,再来看SGA。
你也可以一边看SGA,一边拿Stack Project作为词典查。而SGA中的基本群,叫做代数基本群,可以看作代数拓扑中的基本群的推广。关于代数拓扑的知识,也有很多教材可以查,如Tammo Tom Dieck代数拓扑教材或Hatcher代数拓扑教材。
讲完基本群,后面就是更加重头戏的理论——纤维范畴和Descent理论。顺着这些理论发展下去,就是众所周知的moduli theory,这涉及到概形schemes的推广,将其推广到函子型的algebraic spaces,以及更一般的范畴型的algebraic stacks。我本科时写的几篇论文就跟这些东西有关。
好的!谢谢前辈!😘