不行，$x,x^2,x^3....$不是平方可积空间的绍德尔基（Schauder basis）而且基写错了，应该是$1,x,x^2,x^3, …$。首先，问题来源于以下一个命题：

一个序列$(b_n)$是一个绍德尔基当且仅当$X=\overline{\textrm{span}}\{b_{n}|n\in\mathbb N\}$并且每个$x\in X$都有一个唯一的展开式$x=\sum_{j=1}^{\infty} a_{j}b_{j}$

答案的关键就在于$1,x,x^2,x^3....$不是正交的。

根据定理

令$H$为一个分离的无限维希尔伯特空间，并且假设$S=\{x_n\}$是一个$H$的正交集合。那么下面陈述都是等价的：
（1）$S$在$H$中是完备的
（2）$\overline{\textrm{span}}S=H$；即$S$的线性张成在$H$中范数稠密（norm-dense）。

由于，$1,x,x^2,x^3....$不是正交的，那也就没有完备的说法，因而也不可能满足$X=\overline{\textrm{span}}\{1,x,x^2,x^3....\}$。所以$\{1,x,x^2,x^3....\}$不是平方可积空间的绍德尔基。