弦圈

分析学大师Elias M. Stein（曾是陶哲轩的老师），写了四本分析学系列教材，统称为普林斯顿分析学讲座（Princeton Lectures in Analysis）。他们分别是：I Fourier Analysis：An Introduction II Complex Analysis III Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces IV Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis当时集齐这四本书花了我不少时间，似乎这四本书知名度不一，我下的第一本是复分析教材Complex Analysis。现在我将这些好东西拿出来分享给有需要的人。PS：如果需要中译版的，目前只能找到《实分析》和《复分析》两本，链接：伊莱亚斯 M. 斯坦恩（Elias M. Stein）《复分析》与《实分析》教材

在上贴中分析学大师Elias M. Stein的分析系列教材，我分享了Elias M. Stein的分析全系列英文版，然而有人说想看中文版。经过我的查找，发现网络上流出的Stein中译书很少，最后只找到了比较知名的《复分析》和《实分析》。PS：由于文件较大，两本书分成了3个压缩包分卷上传。

经典泛函分析教材，作者是Mr. Andrew Pinchuck。这是本非常适合小白入门的泛函分析教材，里面的内容讲述通俗易懂、清晰明了。并且从最基础的线性空间讲起，并不需要太多的前置知识即可开始学习。这本书也是我人生中看的第一本英文书，同时也是我第一本看完的英文数学书。这算是我的数学启蒙教材之一，得益于这本书对萌新的友好，当时才初三、高一时期的我对这本书可谓是喜欢至极。现在我拿出来给大家推荐，希望能帮助到更多有需要的人！

提问：求解：$$\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2+1}}=\int \frac{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{x^2+1}}{-2x^2}dx=-\frac{1}{2}\left(\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx-\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}dx\right)$$在第一个积分式中令$x=\sin\theta$，$dx=\cos\theta d\theta$在第二个积分式中令$x=\sinh \varphi$，$dx=\cosh\varphi d\varphi$$$-\frac{1}{2}\left(\int \frac{\sqrt{1-\sin^2\theta}}{\sin^2\theta}\cos\theta d\theta-\int\frac{\sqrt{\sinh^2\varphi+1}}{\sinh^2\varphi}\cosh\varphi d\varphi\right)=-\frac{1}{2}\left(\int \frac{\cos^2\theta}{\sin^ ...

OpenStax是一个免费课本网站，其出版的微积分系列教材分为三本。该微积分教材内容浅显易懂，并且图文并茂，带有彩色文字和彩图，书本整体的颜值很高。这跟国内的某些教材实在是没得比，关于国内外教材的对比可见我之前的文章为什么说外国教材好？国外教材与国内教材的区别。如果英文还算过关的话（其实数学英文并不难，见英语不好，读不懂英文数学教材怎么办？），那么看这种高质量教材学习微积分一定能让你受益匪浅！话不多说，现在就将他们分享出来。PS：由于单个pdf文件太大超过了附件大小限制，因此分成五个压缩包分卷上传。

勒让德多项式是平方可积空间的完备正交基，也是该空间的绍德尔基，即该空间的任意一个元素，可以由其唯一的表示。而勒让德多项式是由x,x^2,x^3....通过施密特正交化原理得到的，两者张成的空间相等都在平方可积空间中稠密，那么我想问的是x,x^2,x^3....是该空间的绍德尔基，即平方可积空间的任意一个元素可由x,x^2,x^3....唯一表示么

考虑正弦函数的幂级数展开$$S=(\sum_{i=0}^{j}\frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}r^{2i+1})_{i\in\mathbb{N}}, 0\leq r\leq2\pi。$$那么$S$是否是柯西序列？令$\varepsilon>0$。是否存在$N>0$使得对于任意$m,n\geq N$，都有$$\left|\sum_{j=n}^{m}\frac{(-1)^{j}}{(2j+1)!}r^{2j+1}\right|\leq\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}r^{2j+1}<\varepsilon？$$证明1：众所周知，$\sin x$的幂级数展开在任意地方都是收敛的（你可以使用比值审敛法来证明这个结论），然后所有收敛数列都是柯西的，因此$S$是柯西序列。证明2：既然这是研究一个紧致集里的级数，最简单的方法是用下面的不等式：$$\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}r^{2j+1}\leq\sum_{j=n}^{m}\frac{1}{(2j+1)!}(2\pi)^{2j+1}<\varep ...

1. Mean value theoremsTheorem 1.1. ($\color{red}{\textrm{Rolle's Theorem}}$) Let $f$ be a function that satisfies the following conditions:$f$ is ${\color{Cyan}{\textrm{continuous}}}$ on the ${\color{orange}{\textrm{closed}}}$ interval $[a,b]$.$f$ is ${\color{Cyan}{\textrm{differentiable}}}$ on the ${\color{orange}{\textrm{open}}}$ interval $(a,b)$.$f(a) = f(b)$Then there exists $\zeta\in(a,b)$ such that $f'(\zeta) = 0$.Theorem 1.2. ($\color{red}{\textrm{The Mean Value Theorem}}$) Let $f$ be a f ...