每天3分钟CHO小课堂：肠道健康 - 运动与健康

便便排不出，并不会产生毒素，

你可能被“排毒清肠”产品给忽悠了。

常喝含有泻药的“洗肠排毒茶”，

会让你的肠道付出惨痛的代价。

如果你想养护肠道，这4件事可以多做~

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弦圈热门内容

望月新一与他天书般的论文，展现了纯数学与我们的距离

导语：一位日本数学家声称已经解决了数学领域最重要的问题之一。但是，几乎无人能懂他的证明，无从判断对错。2012年8月30日的早晨，望月新一悄悄地在自己的网站上发布了4篇论文，总计长达500多页，密密麻麻地布满了各种符号。它们是作者孤独工作了十多年后的成果，可能会在学术界引起爆炸性的影响。在文中，望月新一声称解决了abc猜想——一个27年来在数论领域一直悬而未决的问题，令所有其他数学家都束手无策。如果望月新一的证明是正确的，它将是本世纪最令人震撼的数学成果之一，或将彻底改变整数方程的研究。David Parkins不过，望月新一本人并未对自己的证明大做文章。他任职于日本京都大学数理解析研究所（RIMS），是一位令人尊敬的数学家。他没有向全世界的同行宣布自己的研究成果，只是将论文发布在网上，等待世界去发现。第一个注意到他的论文的可能是玉川安骑男（Akio Tamagawa）——望月新一在RIMS的同事。和其他研究人员一样，玉川安骑男知道望月新一多年来一直在潜心钻研abc猜想，并且已近成功。当天，玉川安骑男通过电子邮件把这个消息发给了他的合作者之一、诺丁汉大学数论理论家Ivan Fesenk ...

Grothendick经典同调代数文章：Some aspects of homological algebra

这是Grothendick著名的关于同调代数的文章Tôhoku paper的英文翻译版，原文是法语版，标题为Sur quelques points d'algèbre homologique。英文翻译为：Some aspects of homological algebra。该文章概述了很多同调代数的重要概念，其中基本都跟代数几何有联系，并且里面不少概念其实是Grothendick本人提出来的，如abelian categories。可以说这篇文章是同调代数的经典文章，在数学圈内也时常有人推荐看这篇文章，毕竟这可是祖师爷亲自从同调代数的基础概念一步步讲起，这对学同调代数或者代数几何的人都有很大裨益。我收藏这篇文章的时候都2021年了，现在拿出来推荐给大家！之后我还会把法语原版也发出来。

佩雷尔曼庞加莱猜想证明

佩雷尔曼关于庞加莱猜想的证明，分为两篇论文，发布时间为2008年2月1日。据说佩雷尔曼当年，直接把证明随意挂在网上，甚至没有投任何杂志。再加上之后成为第二个拒领菲尔兹奖的数学家（第一个是众所周知的代数几何大神Grothendieck），可见佩雷尔曼完全是对这些功名毫不感兴趣。佩雷尔曼的事迹，可以说是我数学启蒙时期一个重要的动力来源之一，当时的我十分受到他的鼓舞。而佩雷尔曼关于庞加莱猜想的证明，虽然我看不懂（我也不是做微分几何的。。。），但收藏价值还是大大地有的，并且哪怕不懂还是可以拜读一下的。

Dugundji拓扑学基础教材Topology

本教材为拓扑学的基础入门教材，作者是Dugundji。本书从最基本的集合概念开始讲起，从集合论延伸至拓扑空间。最后也会涉及一些分析学和代数拓扑。这本书的内容十分完备且齐全，有时候看文献遇到一些比较罕见的术语（包括一些谷歌搜不到的），能在本书中找到。因此本书不仅仅是一本入门教材，还是一本拓扑学的供学者查阅的词典。此书我已收藏数年，如今分享出来给有需要的人。我上传资源尽量只上传可复制的pdf或djvu版，因为不可复制有些时候真的是硬伤。PS：因为文件大了一些，因此用压缩包压缩了一下大小，直接解压即可。

最近弦圈被不知名黑客攻击，服务可能不稳定

最近这几天，弦圈不知为何被不知名黑客攻击，导致服务可能不稳定或者中断。把服务器硬生生撑爆，然后服务器崩溃就可能会打不开网站，因此我就得重启服务器，重启也需要一些时间（可能得十多分钟吧）。不过后台用户的密码都是加密的，都不是明文储存，就连我都不知道密码是多少。目前针对网站的安全，我已经花钱升级了防御（几百块大洋😭），希望有用吧🙏

11.1 登上阿尔卑斯山，解锁成就“欧洲之巅”

【🇨🇭🏔11.1 阿尔卑斯山】🏔获得成就：欧洲之巅     登上少女峰其实是坐缆车加火车上去的，没有“登”这一说（）雪山，云海，冰川，冰河，乃至整个欧洲，都在阿尔卑斯山的最高峰少女峰上尽收眼底。真没想到，人生第一次看雪山的成就竟然是在这里达成的，令人感叹。或许之后看雪山还能唤起当时感觉的也许就只有去珠峰了罢。

10.31 瑞士日内瓦之旅

【🇨🇭🇺🇳10.31 日内瓦】云台花园花钟，隔壁的麓湖，还有打边炉，是的，其实我根本没有出过广州（）最让我惊讶的是日内瓦湖的湖水，不管怎么看，甚至从湖中心看都清澈见底，可惜天气不好，不然这个果冻湖拍出来绝对是壁纸级

泛函分析教材Functional Analysis Notes(2011)

经典泛函分析教材，作者是Mr. Andrew Pinchuck。这是本非常适合小白入门的泛函分析教材，里面的内容讲述通俗易懂、清晰明了。并且从最基础的线性空间讲起，并不需要太多的前置知识即可开始学习。这本书也是我人生中看的第一本英文书，同时也是我第一本看完的英文数学书。这算是我的数学启蒙教材之一，得益于这本书对萌新的友好，当时才初三、高一时期的我对这本书可谓是喜欢至极。现在我拿出来给大家推荐，希望能帮助到更多有需要的人！

10月底至11月初，弦圈功能更新：上传附件

最近我们将给“写帖子”添加一个新的功能：上传附件。也就是说，以后在弦圈用户可以上传自己写的pdf版或者doc版的文章，或者是可以分享自己收藏的电子书。至此，弦圈将同时兼顾为一个资源型网站，大家可以在弦圈的帖子中寻找相关的资源（如电子书、notes等）进行下载。附件的下载可以设置条件，如回复后才可下载，支付金币可下载等。之后为了更好的体验，我们计划引入智力（经验）和货币系统。货币暂分为金币和弦币，其中金币为免费的，所谓“书中自有黄金屋”，签到可获得智力值，而智力值又能产生金币😇。最后，如果上传的附件存在侵权等问题，请联系删除。注意，最新帖子泛函分析教材Functional Analysis Notes(2011)为测试贴（下图为测试画面），新功能将马上上线😃。11月2日：新功能已于昨日更新完成，欢迎尝试使用！😃

英语不好，读不懂英文数学教材怎么办？

问题：最近我得到一本英文 GTM1 的 PDF。起初我截图发到微信上，再通过机翻来阅读。后来觉得麻烦，就打印下来。结果它马上给我一个下马威。第三节开头给了一个定义，然后就出现了一个长达三行半的复杂句子，我辛辛苦苦把每个不认识的词都标出来，但是除了开头的「定义 3.1 是不完全的」，后面我就不知道它说的是什么了。而且我发现书里面有很多很多我不认识的词，一个一个查只怕一年也读不完。经常在知乎看到「数学书是所有英文教材里文字最好懂的」这样的评论，大概我的英语水平太差了吧。（我的英语水平：我现在初三，120分的试卷一般考110~112）所以现在我应该怎么办？怎样比较快速地提高英语水平使得我能够看懂数学书。（补充一句：我的数学水平对看书不是很成问题）我的回答：看不懂英文怎么办？那就老老实实遇到不懂的单词，就查一下什么意思，然后拿个笔记本记下来，这样还能方便偶尔复习巩固记忆。每次遇到不懂的单词，就这样操作，时间长了有感觉了，就可以不记笔记了，遇到不懂的查，脑子过一遍，继续看，代入到语境中去理解。你是初三，真巧我看人生中第一本数学英文教材的时候也是初三，当时刚刚中考完，我还依稀记得当时看的教材是泛函 ...

关于平方可积空间的一些疑问

勒让德多项式是平方可积空间的完备正交基，也是该空间的绍德尔基，即该空间的任意一个元素，可以由其唯一的表示。而勒让德多项式是由x,x^2,x^3....通过施密特正交化原理得到的，两者张成的空间相等都在平方可积空间中稠密，那么我想问的是x,x^2,x^3....是该空间的绍德尔基，即平方可积空间的任意一个元素可由x,x^2,x^3....唯一表示么

我翻译并整理了一些MathStackExchange的问题和回答

对于数学老手而言，阅读全英文数学甚至是全法语数学，都是可以做到的。但是对于数学萌新而言，阅读全英文的数学内容，可能会比较吃力，也需要花费更多的时间来进行阅读和理解。然而对于做数学的人而言，不懂英文就意味着会有大量优质的英文数学资源无法享用。国外比较有名的数学论坛包括MathStackExchange 与 MathOverflow，都拥有大量优秀的问题以及十分优质的回答，这往往能帮助你解决学习过程中遇到的难题。所以，我觉得可以翻译一些MathStackexchange与MathOverflow的优质内容，让更多的国内的数学爱好者能够接触到优秀的英文数学资源。目前我已翻译，并重新整理以下内容，中英对照（切换语言可见）：如何构建一个比复数域$\mathbb C$还要大的域？ℝ的有限域扩张是ℝ或者同构于ℂ幂零理想层的局部截面是什么样的？我在哪可以找到一个数学笔友？范畴中的态射一定得保持结构吗？我在教材中找到了一些不一样的阿基米德性质的乘法形式如果我看数学看得很慢，这没问题吗？仿射概形上的概形什么时候仿射？如果两个对象的余极限同构，那么这两个对象同构？正弦函数的幂级数展开是否是柯西序列？任意一个 ...

10.27 弦圈问题分析以及改进计划

最近有不少对弦圈感兴趣的爱好者，在弦圈注册了账号，也有人参与了互动。对此，我在这感谢各位的支持和认可！😃不过经过这段时间，用户注册后的表现，也透露出目前弦圈存在的很多问题。首当其冲的就是首页，默认显示最新内容，用时间顺序排序，意味着大家在首页往往无法看到有趣的内容，也可能找不到他想看的内容。这也导致弦圈中优秀的内容被埋没。因此，针对这个问题，我自己设计了一个简单的热度算法来计算“热度”，然后通过“热度”来排序首页的热门内容。旧的热门内容就是单纯的通过阅读量排序，没有热度随着时间衰减的现象，这也意味着新内容往往容易被旧内容排挤掉。有了更好的热度算法，我就可以将打开首页默认显示最新内容，改为默认显示热门内容了😇。接着就是中英文混合的问题，这个首页已经解决了，首页看到的内容都会把其他语言的给过滤掉。但是圈子内的话，我没有强行设置只有一种语言，因为不太想一些优秀的英文内容被埋没。我有点想参考推特的做法：热门内容推荐的大多数都是一种语言（如中文），只有一两个是其他语言（如英文）。或者说还有一种方案：热门内容全是同一种语言，再增加一个选项”全部“，即查看圈子全部内容。至于数学圈首页，那些数学分支的 ...

为什么无限求和需要被有意义的？

我的提问：例如单位分解（partition of unity）中的求和以及抽象代数中的多项式表达式。回答：拥有无限多项的求和（或者说更加正式的“级数”）需要一些额外的条件来保证他们“表现良好”（"well behaved"）。否则你可能得到像以下这样的悖论：$$\begin{align} &S = 1 + 1 + 1 + \dots \\ &\Rightarrow 2S = 2 + 2 + 2 + \dots \\ &\Rightarrow 2S = (1+1) + (1+1) + (1+1) + \dots \\ &\Rightarrow 2S = 1 + 1 + 1 + \dots \\ &\Rightarrow 2S=S \\ &\Rightarrow S = 0 \end{align}$$一般地，额外的条件包含，要求除了有限数量的项都为$0$（数学简称中的“几乎所有”）或者收敛条件来确保求和有一个极限值。本问题问于2020年1月22号，当时我在读高三，提问的水平非常差😅，跟Peter Scholze这种高中就懂谱序列的没得比🙃。

抽象代数中如何执行归纳法？

我的提问：我无法理解在这个证明中，归纳法这个步骤是如何进行的。有人能帮帮我吗？感谢！回答：令$n = deg B$。他们通过对$m = deg A$做归纳法来证明那个陈述。基本情况是$m < n$。如果$m \geq n$，然后他们找到另一个多项式$A'$，在这种情况下，$A' = A - B a_m X^{m - n}$，并且它有比$m$更小的阶数。所以我们可以通过归纳假设来处理它。$A′$的商和余数表达式是用于找到$A$的。我想有两件事你可能会觉得困扰，以及为什么你没有认出归纳法。首先，基本情况不仅仅是一种情况，而是一堆情况。这里请注意，这是基本的：证明中的归纳步骤仅适用于$m\geq n$。同时注意，在这种情况下，证明$m=1$的工作量并不比证明$m<n$小：对于所有这些情况，这都是一行证明。你可能会觉得困扰的第二件事是，我们不仅对$m-1$使用归纳假设，对任何阶数严格小于$m$的多项式也使用归纳假设。这被称为完全归纳法或强归纳法：在归纳步骤中，你假设的是，命题不多于$m-1$时都是真的，而不仅仅是$m-1$。这在维基百科的“归纳法”页面上得到了很好的解释。