幂零理想层的局部截面是什么样的？

提问：令$(X, O_X)$为一个概形，然后$I$是一个幂零的理想层，即$I^n=0$对某个$n$。这是否意味着每个$I(U)$都是$O_X(U)$的一个幂零理想？

回答：令$I\subseteq \mathcal{O}_X$是一个理想层，然后令$\mathcal{F}$为一个预层，它对每个$X$的开集$U$，都对应一个理想$I(U)^n\subseteq \mathcal{O}_X(U)$。你说$I$是$n$阶幂零的如果$\mathcal{F}^\#$是零，其中$\#$用于表示层化。但是因为$\mathcal{F}$是一个分离的预层，作为$\mathcal{O}_X$的子层，我们有$\mathcal{F}=0$当且仅当$\mathcal{F}^\#=0$（例如参考[1, Tag00WB]）。因此，我们推断出以下结论：

事实：令$X$是一个概形，而$I$是$\mathcal{O}_X$的一个理想层。然后下面的都是等价的：
1. 对所有开集$U$，理想$I(U)^n$是零。
2. 预层$U\mapsto I(U)^n$的层化是零。

[1] 多位作者, 2020. Stacks project. https://stacks.math.columbia.edu/