仿射概形上的概形什么时候仿射？

问题：令$X$为一个概形。令${\rm{Spec}}(R)$为某个环$R$的仿射概形。假设有一个概形态射$f:X\rightarrow{\rm{Spec}}(R)$，那么$f$应该拥有什么性质，使得$X$也是一个仿射概形？或者说什么条件能让$X$仿射？

答案：如果$f$是一个仿射态射，那么$X$由定义可知是仿射的。

这是一个“当且仅当”的命题。如果$X$是仿射的，那么$f$也是仿射的。见Vakil的Foundations of Algebraic Geometry中的theorem 7.3.7，或者Stacks Project中的29.11.3 and 29.11.4。

因此特别的，若$f$是一个闭浸入，则$f$是仿射的，从而$X$是仿射概形。