我的提问：众所周知，范畴中对象之间的态射都是保持结构的。但是在一本教材中，我发现它说态射一般是保持结构的。这是否意味着存在不保持结构的态射？

回答1：一个范畴不需要非得由带有某些额外结构的集合与保持这个结构的映射构成。

不是这种类型的范畴的例子有：

• 给定任意一个群$G$，我们可以构造一个范畴，它由一个对象$*$和每个$g\in G$的一个态射$\varphi_g\colon *\to *$组成。这里，态射的复合通过群运算来定义，并且$\operatorname{id}_* = \varphi_{e}$对于单位元$e\in G$。
• 给定一个偏序集$(P,\le)$，我们可以构造一个范畴，它由对象集$P$和每个满足$x\le y$的$x,y\in P$有且仅有一个的态射$x\to y$组成。
• 拓扑空间的同伦范畴，它的对象都是拓扑空间，每个态射$X\to Y$是一个连续映射$f\colon X\to Y$的同伦群$[f]$。

回答2：我认为问题出在这里

众所周知，范畴中对象之间的态射都是保持结构的。

事实并非如此。范畴这个概念推广了“带有结构的集合和保持结构的函数”，例如群和同态，或者拓扑空间和连续映射。

但是一般性的程度是极端的：范畴的对象甚至不需要是集合，然后范畴的态射不需要是函数。

比如，每一个幺半群可以看成是一个单对象的范畴，其中幺半群里的元素都是从单个对象到自身的态射。在这个情况下，“对象”只是一个占位符——它没有“结构”的概念——并且态射无疑都不是函数（一般来说）。

“看起来像”带结构的集合与保持结构的态射的范畴被称作具体范畴。意思是范畴$\mathcal{C}$装备了一个忠实函子$U : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$。$\mathcal{C}$的一个对象$A$可以看成拥有一个“支集”（'underlying set'）$U(A)$，并且一个态射$f : A \to B$可以看成拥有一个“支函数”（'underlying function'）$U(f) : U(A) \to U(B)$。然而具体范畴仍然比带结构的集合与保持结构的态射更一般。毕竟实际上并没有提到任何关于结构的东西。

本问题于2019年2月19号提问于MathStackExchange，当时我正在读高中，因为得兼顾高考，我并没有多少时间来研究数学，所以当时的数学水平一直不让自己满意，但也没办法。