为什么无限求和需要被有意义的?
我的提问:例如单位分解(partition of unity)中的求和
以及抽象代数中的多项式表达式。
回答:拥有无限多项的求和(或者说更加正式的“级数”)需要一些额外的条件来保证他们“表现良好”("well behaved")。否则你可能得到像以下这样的悖论:
$$\begin{align} &S = 1 + 1 + 1 + \dots \\ &\Rightarrow 2S = 2 + 2 + 2 + \dots \\ &\Rightarrow 2S = (1+1) + (1+1) + (1+1) + \dots \\ &\Rightarrow 2S = 1 + 1 + 1 + \dots \\ &\Rightarrow 2S=S \\ &\Rightarrow S = 0 \end{align}$$
一般地,额外的条件包含,要求除了有限数量的项都为$0$(数学简称中的“几乎所有”)或者收敛条件来确保求和有一个极限值。
本问题问于2020年1月22号,当时我在读高三,提问的水平非常差😅,跟Peter Scholze这种高中就懂谱序列的没得比🙃。
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