弦圈

我的提问：定理 22.3（定义域的光滑不变量）令$U \subset\mathbb{R}^n$为一个开子集，$S \subset\mathbb{R}^n$为一个任意子集，并且$f : U \rightarrow S$是一个微分同胚。那么$S$在$\mathbb{R}^n$中是开集。我无法理解为何集合$S$在$\mathbb{R}^n$中并不是自动开的。映射$f$是一个微分同胚，这意味着它在两个方向都是连续的，所以$S$是开的。回答：首先你所知道的是$U$中的开集$V$满足：$f(V)$在$S$中开，不是$f(V)$在$\mathbb{R}^n$中开。所以$f(U)=S$是在$S$中开。那个推断是说接着$f(U)=S$自动在$\mathbb R^n$中开，这是不一样的并且不是自动的。它需要证明。PS：这里说的是拓扑学中关于开集的一个重要盲点，即开集是相对的。尤其是考虑某个拓扑空间中的子集，要弄清楚究竟是在子集内开，还是在全空间内开。

我的提问：例如单位分解（partition of unity）中的求和以及抽象代数中的多项式表达式。回答：拥有无限多项的求和（或者说更加正式的“级数”）需要一些额外的条件来保证他们“表现良好”（"well behaved"）。否则你可能得到像以下这样的悖论：$$\begin{align} &S = 1 + 1 + 1 + \dots \\ &\Rightarrow 2S = 2 + 2 + 2 + \dots \\ &\Rightarrow 2S = (1+1) + (1+1) + (1+1) + \dots \\ &\Rightarrow 2S = 1 + 1 + 1 + \dots \\ &\Rightarrow 2S=S \\ &\Rightarrow S = 0 \end{align}$$一般地，额外的条件包含，要求除了有限数量的项都为$0$（数学简称中的“几乎所有”）或者收敛条件来确保求和有一个极限值。本问题问于2020年1月22号，当时我在读高三，提问的水平非常差😅，跟Peter Scholze这种高中就懂谱序列的没得比🙃。

数分1-3学习总结😟：虽然我不喜欢数分，但是数分确实是不少数学分支的基础，诸如泛函分析、下学期即将学的ODE、PDE、微分几何等等，都需要数分的基础。因此，学好数分确实有必要，但是也没必要花过多的时间在里面。数分1中，我们首先学习了上确界和下确界，这两个概念在分析中非常重要。接着学习了实数域的阿基米德性，根据实数域的阿基米德性，我们可以加以推广，推广到一个ordered abelian group上面，接着我们有了阿基米德性质的乘法版本。同时，实数域的阿基米德性允许我们定义一个域上的阿基米德绝对值，而如果这个绝对值是非阿基米德的，那么就引出了所谓的非阿基米德分析。接着我们学习了极限，知道了如何用epsilon-delta语言描述极限，这里极限的定义借助于一个特定的度量，如果去掉这个度量我们还能定义一个极限吗？答案是可以，在一个拓扑空间中，我们可以借助邻域来定义极限，无需任何距离。数分2中，我们学习了级数，并得出结论，一个级数收敛的必要条件是系数构成的序列趋于0。然而在非阿基米德分析中，如果我们考虑非阿基米德绝对值，那么就能得出级数收敛的充要条件是系数构成零序列。数分3中，我们学了多元函 ...