提问：我需要仅通过不等式证明$\forall x \in \mathbb{R}$：

$$\frac{x(1-x)^2}{(1+x^2)^2} \leq \frac{1}{4}$$

不考虑函数$f(x) = \frac{x(1-x)^2}{(1+x^2)^2}$。

我尝试证明差$$\frac{x(1-x)^2}{(1+x^2)^2} - \frac{1}{4}$$是负数，因此我发现接着我们需要证明$$-x^4+4x^3-10x^2+4x-1 \leq 0$$但没有任何结果。

你有办法证明这一点吗？

回答：你已经快要解决了。只需要用另一种方式将你的不等式写出来：

$$x^4-4x^3+10x^2-4x+1\ge 0$$

现在注意到$$\begin{align*}x^4-4x^3+10x^2-4x+1&=(x^4-4x^3+6x^2-4x+1)+4x^2\\&=(x-1)^4+(2x)^2\\&\ge 0\end{align*}$$

翻译自Mathstackexchange：inequality without using study of function