如何构建一个比复数域$\mathbb{C}$还要大的域？

本文我们探讨这个问题：

是否存在一种扩张复数域$\mathbb{C}$的方法，使得$\mathbb{C} \subset\mathbb{C}[a]$？或者$\mathbb{C}$是所有域扩张的终点？

下面围绕这个问题，我们将提供两种扩张复数域$\mathbb{C}$的方法。

方法1：$\mathbb{C}$的笛卡儿积$$P = {\Bbb C}\times{\Bbb C}\times\cdots$$并不是一个域，因为它有零因子：$$(0,1,0,1,\cdots)(1,0,1,0\cdots)=(0,0,0,0,\cdots)。$$

但是将零因子商掉，就能得到一个域。令$\mathcal U$为$\Bbb N$上的一个nonprincipal ultrafilter。我们定义$$(a_1,a_2,\cdots)\sim(b_1,b_2,\cdots)$$当$$\{n\in\Bbb N\,\vert\, a_n=b_n\}\in\mathcal U。$$

然后商$F = P/\sim$就是一个严格比$\mathbb{C}$大的域，我们称这个域为超积（英语：ultraproduct）。并且嵌入映射$\Bbb C\longrightarrow F$是显然的。

方法2：给定任意一个域，我们总能构造更大的域出来。如果给定的域不是代数封闭的，我们给adjoin新的多项式的根，否则我们可以adjoin超越元素（这等价于构建一个有理函数域）。事实上，每一个域扩张都是一个纯超越扩张的代数扩张。

（因为$\Bbb C$是代数封闭的，它没有代数扩张，因此没有有限域扩张。）

特别的，$\Bbb C(T)$（复系数变量$T$的有理函数域）在集合论包含关系上，比$\Bbb C$大。然而，它的代数闭包跟$\Bbb C$有着相同的基数，因此它抽象意义上同构于$\Bbb C$。这意味着存在一种将$\Bbb C(T)$嵌入到$\Bbb C$里的方法。如果我们想要在基数意义上构建更大的域，我们可以构建$\kappa$多个变量的复系数有理函数域，其中$\kappa$是一个比连续统$\mathfrak{c}=|\mathbb{C}|$更大的基数。这显然比$\Bbb C$更大！

注意到$\mathbb{C}[T]$不存在既是域，又严格包含于$\Bbb C$的子环。因为如果它存在，它就会包含某个非常数$f(T)$，从而包含非多项式元素$f(T)^{−1}$，该元素不可能在$\mathbb{C}[T]$里。

同时注意到不同特征值的域是不相容的：不同特征值的域永远不可能包含在同一个域里面。因此，不仅不存在所有域的共同域扩张（一个域能包含所有的域），并且“所有域的类”在不同且互斥的方向上延申（每个素数对应一个，零对应一个）。