本圈子主要分享一些简单且有趣的数学题，用于娱乐目的以及放松头脑。
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本notes主要讲的是拓扑学中$k$-spaces与$k$-Hausdorff space的相关概念，之所以保存这份notes是因为我当初学习高阶范畴的时候，刚好需要用到这些概念。比如说，无穷范畴的定义就需要用到他们：A topological category is a category which is enriched over $\mathcal{C}\mathcal{G}$, the category of compactly generated (and weakly Hausdorff) topological spaces. The category of topological categories will be denoted by $\mathcal{C}at_{top}$.而抛开它与无穷范畴的联系，仅仅考虑它在拓扑学本身的意义，我觉得这也是本拓扑学方面有趣的notes，不仅是因为有趣的概念如$k$-空间、$k$-豪斯多夫空间，还有紧致生成的空间，还包括一些有趣的结论。总之，对高阶范畴、或者更深入的拓扑学感兴趣的人，可以看看。
以及有没有推荐的点集拓扑教材
一两个月前，网站浏览人数比较少的时候，我也比较空闲，因此花了一些时间翻译了国外Wiki、nLab、Stack Project的部分条目，同时，我还将一些教材中的定义以及少部分自己写的英文notes中的定义翻译成了中文。然后我将这些翻译好的内容全都放进了数学百科中。现在因为新建了好几个子圈子，我也陆续将这些词条分门别类放进了不同的子圈。我之所以会翻译这些东西，一来是因为中文互联网的数学资源属实是过于稀缺了，每个学数学的人想要更好的发展都离不开英语这一关。但是总有人对数学感兴趣却英语不好，这也意味着有一部分人会欣赏不了英文的一些美妙的数学。二是因为词条是可以插入到文章里的，这会方便看文章的人快速查看相关术语的意思，所以在弦圈里多放些词条不仅有利于网站内容更丰富，而且能让学习交流变得更加顺畅。下面我整理一下我具体翻译了哪些词条，其实也不是很多。主要问题是翻译数学内容本身并不耗时间，真正耗时间的是输入Latex代码😅，即便我写数学好几年了，Latex也早就熟练运用，但我还是感觉在写数学的过程中Latex的输入占用了过多时间。层预层局部赋环空间赋环空间概形凸秩$p$-可除群函数向量向量空间反同态 ...
一说到陈省身经典的微分几何教材《微分几何讲义》，就勾起我很多回忆。这本书是我初三时期入门微分几何的教材，虽然相比于Loring W Tu微分几何经典入门教材：An Introduction to Manifolds的教材没那么好理解，但是却比王幼宁的《微分几何讲义》更加的友好。我当时真的挺喜欢陈省身的教材的，虽然以我如今的水平看，当时的我并没有真正的看懂这本书，但这是我微分几何的启蒙书。我人生中看的第一本微分几何的书是王幼宁的《微分几何讲义》，但是我虽然很有兴趣，但却没能读下去，因为开篇就直接看不懂。而陈省身的《微分几何讲义》至少我能读下去，不至于开篇就直接来那么难的东西，我也是靠这本教材知道了很多微分几何的重要概念。我到高一还在看陈省身这本教材，直到后来高二为了读懂Jürgen Jost黎曼几何与几何分析教材：Riemannian Geometry and Geometric Analysis，我不得不看自己当时嫌弃的Loring W Tu的An Introduction to Manifolds，才打开了新世界，原来还是这么好看的微分几何入门教材，Loring W Tu的书确实比陈 ...
知乎提问：我想这样子自学数学？纯兴趣爱好。我想从高中数学开始自学，用教材帮这本教辅书自学。然后学完高中后整理一下初等数学的知识。是不是就可以开始自学高数了？现在我打开高数好多证明题和不等式都不会做。然后把高等数学，数学分析，线性代数，高等代数，概率论与数理统计，复变函数与积分变换，实分析，复分析，泛函分析，抽象代数，代数几何，长微分方程，偏微分方程，微分几何都学完。大致就是这样的人生规划，初等数学学透了是不是就可以理解学习高等数学了？我的回答：我觉得按部就班的按顺序学习没多大意思，我初三的时候是先把导数、积分这些高中最难但却是微积分最基本的概念“学懂”，然后才学别的比较基础的概念如集合。原因无它，就是因为当时这些更感兴趣。因此与其纠结于把什么学透了再来理解什么，不如换成先尝试理解什么，理解不了再来理解什么。我初三的时候除了学会了导数、积分、加速度这些高中数学、物理的概念，但也没太过深入。顶多再学了个正余弦定理拿来应付中考。我从初中开始养成的习惯就是，对什么感兴趣就直接学它，学不懂再看其他的，因此我初中的时候还直接学了范畴的定义（只是看懂了表面的定义）。直到初三升高一的假期，我才买了高中 ...
#健康知识日报#1个免费提升幸福感的方法：多睡觉！睡饱睡好了，让身心都得到放松，能帮你稳定情绪，远离焦虑、抑郁。睡眠差的人，快试试这6个技巧吧~
长期熬夜会打乱人体生物钟，导致胰岛素分泌紊乱，影响血糖稳定。多项研究表明，与早睡早起者相比，晚睡晚起的人群患2型糖尿病的风险较高。快走、骑车、乒乓球、羽毛球、慢跑、游泳等运动可以消耗能量，降低血糖水平。选择含菊粉、抗性糊精、半乳甘露聚糖等成分的天然膳食纤维补充剂，同时补充膳食纤维和益生元，促进肠道蠕动，帮助平稳血糖。
白果/文 人类对AI，尤其是AI冲击社会就业与收入分配的担忧，其实由来已久。20世纪70年代至今，我们至少经历过三波AI发展的大潮。当一轮轮潮水退去，人们发现人工智能似乎并没有想象的那么厉害，不禁有了更自信乐观的理由。然而，这一轮AI的发展速度和能力似乎不可同日而语。ChatGPT（Generative Pre-Trained Transformer）及各种生成式AI工具的出现，使人类可以用自然语言的方式给计算机发出指令，这在很大程度上打破了某些专业壁垒。虽然当前AI生成内容在准确度、独创性上还有待提高，但替代人工、降本增效的能力显而易见。那么，此轮AI发展将冲击哪些职业，又是否会如乐观者期待的那样，带来大量新的工作？在尝试回答这两个备受关注的问题之外，笔者也试图分析AI带来的社会结构性转变，以及为了应对这些转变，个体和社会应作出怎样的努力。我们看到，目前AI工具的发展，可能会导致技术性失业、收入分配结构的恶化尤其是“极化”效应，加剧各种社会问题。而要想让技术进步更好地实现普惠价值，我们需对现有制度进行深入反思，尝试对社会系统进行革新和再设计。归根结底，技术的社会价值实现和进步方向最终 ...
丹麦哲学家齐克果（Sren Kierkegaard）说：「什么是诗人？一个不快乐的人：他把深层的痛苦埋在心里；但他的唇舌是如此形塑，以致从中经过的叹息和哀嚎，都成了动人的乐章。」诗人好像真的是比较不快乐。在一个诗人选择自杀后，我们一般都对之予以同情和理解，彷彿诗人们自我了结生命是可以谅解的。种种的思绪，不禁令人想起德国哲学家叔本华（Arthur Schopenhauer）对艺术和自杀的一些想法。叔本华向来以所谓悲观主义哲学闻名，不少没读过他的人也大概知道这点。所谓悲观主义，是一种以负面的角度去理解价值的方案。而所谓负面，又有几个面向。首先，叔本华说，人类是一步一步地迈向死亡的存在物，从这个存在特质去看，人类的存在目标和目的也就指向着死亡。「假如存在的目标是死亡，那为什么不能现在就死？」一位诗人或许正在如此提问。还不能马上就死。正因为人是「步向死亡」的存有者，人的存在处境便是动态的──就于现在的每一刻。因此，「现在」便有了独特的价值。就如他在《作为意志和表象的世界》（The World as Will and Representation）第一册中解释：真正的存在就只在现在。现在一直往过 ...
叔本华虽然是悲观主义者，但他的哲学思想很是值得现代人思索。作为哲学家的叔本华反对基督教并认为基督教教义虚伪，其真理是为受苦，叔本华思想深受印度教与佛教影响深远。但就基督徒而言会同意人生是苦，但非是受苦。有时悲观不一定会带来负向的思考，其实悲观者的心思较为细腻而敏感，对生活的体验也较深刻；悲观只不过是一种思想，一种观念。「人生是一种迷误。因为人的欲望是很复杂的也不容易满足，即使当时得到满足，那也只是一时的状态，很快的人又会有更多的烦恼」。——叔本华《生存空虚说》当人对于人生所要求多时就会很容易不快乐、不满足，而想要生活快乐实在很难，几乎不可能，能切切实实的明白这番道理，对人生的欲求就会减少。世界的脚步不停的在变，是一种持续性的历程，世界也绝不会因你而改变，它仍然无情的转动着。在生存空虚一文中：「人一生所追求的只是想象中的幸福。」事实上叔本华以一种虚无的论调，来思辨他对人生的看法，但有时想想，确是如同他所表述；人的欲望无穷大，当人类对人生开始想追求一切时，欲望就开始无法满足人心。在文中作者认为，当人认为生命是为了活下去，生命自然就有价值；但若是有其目标，就只是昙花一现般，最终还是等于无；也 ...
#每天3分钟CHO小课堂#这个长胖的原因，后悔没早知道！吃饭时不专心，边追剧、聊天，容易让你吃得更多，悄悄变胖。想瘦，试试超有用的“567饱腹法”。
《2024中国居民睡眠健康白皮书》指出，中国有超一半人受失眠困扰。作息不规律，焦虑、压力等情绪问题都有可能引发失眠。多吃牛奶、香蕉、核桃、燕麦、小米等富含色氨酸、维生素B6的食物，可帮助激活褪黑素，传递睡眠信号。选择γ-氨基丁酸和酸枣仁提取物为主要原料的营养补充剂，有助于改善睡眠质量。PS：γ-氨基丁酸和酸枣仁提取物都吃过，也吃过归脾丸和褪黑素。目前感觉针对难入睡的问题，褪黑素效果最好，其次便是归脾丸。γ-氨基丁酸和酸枣仁提取物也不知道是不是智商税，反正吃了没啥效果，甚至还觉得很兴奋？？🤔
本次我分享的教材是GTM242——Abstract Algebra，作者是Pierre Antoine Grillet。本教材是我高中时期最中意的抽象代数教材了😄，当时的我看过好几本抽象代数的教材，包括国内的某本抽象代数小册子教材（已经找不到了，不知道扔哪了，记得封面是黄黑色的），最后还是GTM242让我真正学会了抽象代数。高中的时候我基本每天回家的路上都会看它，并且最后我还把它的纸质书从国外亚马逊买回来了。这本教材我个人感觉通俗易懂，挺适合喜欢代数的初学者。整本书先从最基本的二元运算讲到半群，接着才到更加抽象的群的概念。教材的整体节奏也是循序渐进，先群论接着环论，之后才是域论。讲完前面的基础概念后，才开始更加深入的话题，如伽罗华理论。本书内容可以说十分完备，而且例子也丰富，带有趣的配套习题。此书不仅可以用于学习抽象代数，还能用于学习交换代数和同调代数，完备得有些出乎意料，感觉把所有代数的重要基础概念都囊括其中。应该可以跟Serge Lang的Algebra相提并论。值得一提的是，Serge Lang的Algebra经常被推荐用于作为代数方面的词典，用于遇到不懂或者少见的代数概念时去查 ...
刷题刷傻了~这次是交换代数的经典教材，M.F.Atiyah，I.G.MacDonald的Introduction to Commutative Algebra，以下简称A&M。A&M在知乎上也很有声誉，基本是公认的交换代数入门书。A&M很薄，128页，我大概读了二十余天，习题全部刷完了，觉得相当有收获。难度有，但并没有想象中的大，我完全能接受。A&M几乎绝版了，不过可以去专门进口书店买到，打印也不失为一个好选择。说起来我本来打算把交换代数放在明年再读的，但恰逢我校大二同学开展了一个交换代数讨论班，用的这本书，并且我导也推荐我现在读，所以大概就是这时候读了。确实感觉时机刚刚好。A&M是写给上个世纪七十年代的三年级本科生的讲义，很多地方不经雕琢，自成璞玉。形式化风格很是明显，鲜有大段启发性的说明或展示动机，大多是定义，定理，命题，推论的罗列，很“干”。一些证明也比较简洁，用作者自己的话说，他省去了机械的步骤；但相对的，我觉得他重要思路都点到了，真正跳步的地方比较少。我很喜欢这本书，首一的优点，它很薄，且基本的交换代数都覆盖到了，第二，它习题非常优秀， ...
这是篇迟到的日志文，早在弦圈11月10日上下更新计划：小金库、打赏等功能中我就提到更新完后会特意写一下更新日志，说明一下更新了哪些内容和功能。然而如今过了快一个月，我才勉强腾出点精力写一写。1. 首先我完善了签到功能，并加上小金库功能，让你每天签到的智力值能够存进银行里产生金币，这完美呼应了那句俗语“书中自有黄金屋”😄。然后我完善了一下弦圈的货币系统，现在有金币（免费）和弦币（付费）。弦币将作为弦圈早期的主要流通货币，而这个弦币跟人民币的比值我也是考虑了很久，也跟朋友商量过许多次，最后定下来就是1人民币=$\pi*e$弦币=8.53973422267弦币。之后我还打算引入$\pi$币跟$e$币，但那也是后话了。2. 有了付费的弦币就需要有充值的地方，然后我写了我的钱包模块。在里面会显示你的钱包余额，以及充值记录。并且用户可以在那里进行充值。3. 接着我增加了赞赏功能，该功能的初衷是让弦圈的创作者能够有收入，不至于完全用爱发电。目前文章和帖子都可以进行赞赏，所有用户无任何门槛都能被赞赏，只要你写了文章或者发了帖子，就能被赞赏。而赞赏收入，弦圈会扣掉7.5%的手续费，低于知乎和CSDN的2 ...
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