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刷牙不刷这个关键部位，算是白刷了！

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望月新一关于abc猜想的天书证明：宇宙际Teichmüller理论

望月新一以及他的Inter-universal Teichmüller Theory（宇宙际Teichmüller理论）可以说是非常出名，相较于费马大定理证明的晦涩难懂，宇宙际Teichmüller理论才算是真正的天书，全世界没几个人能看得懂，就连大佬Faltings都看不懂。望月新一是Faltings的学生，Faltings以“暴力横推”的风格闻名，张寿武说过Faltings的风格就像直接开着推土机把山碾平了过去。并且Faltings看论文都是只看前沿（introduction）就能知道整篇论文的主要定理，甚至还能直接证出来。见望月新一与他天书般的论文，展现了纯数学与我们的距离可见Inter-universal Teichmüller Theory有多难懂，它涉及到代数几何一个高深的领域：远阿贝尔几何（anabelian geometry），顾名思义就是考虑平展基本群$\pi_{1}^{et}(X,x)$远离阿贝尔的部分，远阿贝尔几何源于Grothendick的一封入职信Esquisse d'un Programme，他于其中提出一个宏大的理论，然而最终他却没能将其实现。而望月新一可 ...

Tammo Tom Dieck代数拓扑教材

EMS出版的代数拓扑教材Algebraic Topology，作者是Tammo Tom Dieck。本教材相较于Hatcher的书，没有那么太多的插图，并且内容更加抽象。本书知识密度高，内容精炼简洁，没有过多的废话。很适合有一定代数基础，且喜欢直接切入主题，快速学习的人。对于还未入门的小白而言，这本书不太适合作为代数拓扑的入门教材。我高中的时候就在看这本教材，但总在一些地方无法彻底理解。但这本教材吸引我的地方，一是它的内容涵盖面够广，并且知识密度够高，能够让我短时间内掌握代数拓扑方面的基础知识；二是它的描述更加的抽象，并且语句简洁明了、容易理解，很符合我的口味（这也是我当时选择代数几何的原因）。关于本教材与其他代数拓扑教材更具体、更专业的对比，请看Algebraic Topology I: 对教材跟概念的一些论述。

泛函分析教材Functional Analysis Notes(2011)

经典泛函分析教材，作者是Mr. Andrew Pinchuck。这是本非常适合小白入门的泛函分析教材，里面的内容讲述通俗易懂、清晰明了。并且从最基础的线性空间讲起，并不需要太多的前置知识即可开始学习。这本书也是我人生中看的第一本英文书，同时也是我第一本看完的英文数学书。这算是我的数学启蒙教材之一，得益于这本书对萌新的友好，当时才初三、高一时期的我对这本书可谓是喜欢至极。现在我拿出来给大家推荐，希望能帮助到更多有需要的人！

2024-11-22凌晨：弦圈最近两周更新情况

在上篇弦圈11月10日上下更新计划：小金库、打赏等功能，我提到会更新网站多个功能。原本以为这些功能最多一周就能全部写完，结果当我真正开始写，才发现自己完全低估了这些功能实现的难度，以及所需要耗费的时间。而且由于我的完美主义倾向，导致我比原计划多开发了好几个功能，比如说编辑器插入公式、交易中心、收藏党最喜爱的收藏夹等。因为我想反正都大更新了，那干脆就更新得多一些，把以前埋的坑都填上。再然后支付功能比我想象中的要难得多，这不仅仅指代码难写，还包括支付宝的审核等问题，人事问题上也耗费了不少时间。在这里忍不住吐槽一下支付宝和微信支付，这国内两家巨头技术文档写的是真烂、真水。多少年了，支付宝支付SDK的demo示例还是Java、PHP，Python压根没写，只能自己摸索然后网上找到些零散的资料。微信支付先是需要微信认证强制每年收费300元，然后文档也是写得不清不楚。反正目前网站就暂时只支持支付宝吧，之后再把微信支付补上吧，因为真的被恶心到了。总之如今写了快两个星期了，这些功能终于要完成了，预计明后天就能上线测试。网站也完全没更新，也找不到人帮忙更新，只能先放着了。之后我会发一篇更新日志，更加详细 ...

佩雷尔曼庞加莱猜想证明

佩雷尔曼关于庞加莱猜想的证明，分为两篇论文，发布时间为2008年2月1日。据说佩雷尔曼当年，直接把证明随意挂在网上，甚至没有投任何杂志。再加上之后成为第二个拒领菲尔兹奖的数学家（第一个是众所周知的代数几何大神Grothendieck），可见佩雷尔曼完全是对这些功名毫不感兴趣。佩雷尔曼的事迹，可以说是我数学启蒙时期一个重要的动力来源之一，当时的我十分受到他的鼓舞。而佩雷尔曼关于庞加莱猜想的证明，虽然我看不懂（我也不是做微分几何的。。。），但收藏价值还是大大地有的，并且哪怕不懂还是可以拜读一下的。

Hatcher代数拓扑教材

在上帖中我分享了Tammo Tom Dieck代数拓扑教材，并对比了Tammo Tom Dieck与Hatcher的教材有啥区别。现在我将Hatcher的代数拓扑教材分享出来，给有需要的人。Hatcher的教材相比于Tom Dieck的，图文并茂，有更精美丰富的插图，能让读者更加直观的理解。这适合入门代数拓扑的小白，或者是喜欢几何直观的人。

怀尔斯的费马大定理证明

费马大定理的证明可以说是算术几何的一个重要里程碑，当年怀尔斯虽然很小的时候就被该问题所吸引，从而选择做一个数学家。但作为一个这么多年都无人能破解的难题，怀尔斯也是兜兜转转，他也没一开始就打算攻克这个猜想。据说，是代数几何取得突破性进展之后，他才觉得是时候攻克费马大定理了。最后他成功证明了谷山-志村猜想，从而证明了费马大定理。可以说怀尔斯能证明费马大定理，是刚好生在一个合适的时代，并站在了巨人的肩膀上，从前人手中接过火炬。怀尔斯关于费马大定理的证明，就是这篇论文Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem。该论文非常晦涩难懂，没多少人能看得懂，可以说能彻底看懂费马大定理证明的人，都是圈内大佬。论文中涉及的知识面很广，包括椭圆曲线、模形式、伽罗华表示论、代数数论、类域论、群概形等等，想要理解费马大定理就得先理解前面这些理论。不过虽然我们看不懂，但该证明还是非常具有收藏价值的，看不懂也能看，也能欣赏嘛。并且对于做算术几何的人来说，可以用这篇论文来指导自己的学习和研究。Peter Scholze当年不也一上来就看费尔马大定理的证明，虽然un ...

将反向传递看成函子：强化学习的一个复合视角

这篇文章是数学家与计算机科学家合作写的，将范畴论应用于人工智能的强化学习。本文表示，强化学习算法与强化学习算法的复合，还是一个强化学习算法，因而所有强化学习算法构成一个范畴$\textrm{Learn}$。然后在$\textrm{Learn}$里考虑神经网络，并证明在一般情况下，梯度下降也是复合的。如果对纯数学理论，在计算机或者AI有什么应用感兴趣的人，可以看看。我当时下这篇文章，也是好奇代数领域在AI方面有啥应用，其实当时已经知道有个叫热带几何（Tropical Geometry）的领域，就是代数几何在计算机的应用。因为当时AI就很火，但AI可解释性需要很多数学来解决，他们解决不了，所以我留着这篇文章也是打算之后写篇类似的AI应用的文章。

Dugundji拓扑学基础教材Topology

本教材为拓扑学的基础入门教材，作者是Dugundji。本书从最基本的集合概念开始讲起，从集合论延伸至拓扑空间。最后也会涉及一些分析学和代数拓扑。这本书的内容十分完备且齐全，有时候看文献遇到一些比较罕见的术语（包括一些谷歌搜不到的），能在本书中找到。因此本书不仅仅是一本入门教材，还是一本拓扑学的供学者查阅的词典。此书我已收藏数年，如今分享出来给有需要的人。我上传资源尽量只上传可复制的pdf或djvu版，因为不可复制有些时候真的是硬伤。PS：因为文件大了一些，因此用压缩包压缩了一下大小，直接解压即可。

一个长不定积分$\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2+1}}$

提问：求解：$$\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2+1}}=\int \frac{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{x^2+1}}{-2x^2}dx=-\frac{1}{2}\left(\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx-\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}dx\right)$$在第一个积分式中令$x=\sin\theta$，$dx=\cos\theta d\theta$在第二个积分式中令$x=\sinh \varphi$，$dx=\cosh\varphi d\varphi$$$-\frac{1}{2}\left(\int \frac{\sqrt{1-\sin^2\theta}}{\sin^2\theta}\cos\theta d\theta-\int\frac{\sqrt{\sinh^2\varphi+1}}{\sinh^2\varphi}\cosh\varphi d\varphi\right)=-\frac{1}{2}\left(\int \frac{\cos^2\theta}{\sin^ ...

弦圈11月10日上下更新计划：小金库、打赏等功能

这几天忙于写代码完善网站功能，不太有空更新文章和内容。因为弦圈没有借助任何建站工具和博客框架，是我自己前后端一起从零开始写的，因此开发得会比较慢，请谅解。。。目前计划上线功能首先就包括，前面弦圈更新日志：关于智力值和金币提到的小金库。获取金币的机制是：智力值存入银行（叫时空银行time bank？），然后根据日利率每天产生相应的金币。下图为测试画面其次为了让网站能够更好的运作下去，从而给大家提供更好的服务，我计划引入盈利功能。所谓盈利功能即是用户通过弦圈来获得收益的相关功能，包括打赏功能、接广告功能、接悬赏功能。这些功能主要是为了鼓励大家为社区做贡献，并且让需要得到帮助的人更容易获得帮助（毕竟大佬们忙得很，不会轻易帮助你解决问题）。具体规则暂定如下：想要让弦圈的用户能赚钱，那弦圈必须自己先能赚到钱，目前我计划引入弦圈广告和用户交易中心。至于弦圈广告，我打算采用信息流广告、侧边栏广告、文章内嵌广告，拒绝弹窗之类遮蔽视线的广告，因此不会影响用户体验。最后我还得把之前留的坑——创作中心给填上，就是一个给创作者的方便管理内容、查看数据的模块。测试画面如下：尽情期待😇

一个关于定义域光滑不变量的问题

我的提问：定理 22.3（定义域的光滑不变量）令$U \subset\mathbb{R}^n$为一个开子集，$S \subset\mathbb{R}^n$为一个任意子集，并且$f : U \rightarrow S$是一个微分同胚。那么$S$在$\mathbb{R}^n$中是开集。我无法理解为何集合$S$在$\mathbb{R}^n$中并不是自动开的。映射$f$是一个微分同胚，这意味着它在两个方向都是连续的，所以$S$是开的。回答：首先你所知道的是$U$中的开集$V$满足：$f(V)$在$S$中开，不是$f(V)$在$\mathbb{R}^n$中开。所以$f(U)=S$是在$S$中开。那个推断是说接着$f(U)=S$自动在$\mathbb R^n$中开，这是不一样的并且不是自动的。它需要证明。PS：这里说的是拓扑学中关于开集的一个重要盲点，即开集是相对的。尤其是考虑某个拓扑空间中的子集，要弄清楚究竟是在子集内开，还是在全空间内开。