$\mathbb{R}$的有限域扩张是$\mathbb{R}$或者同构于$\mathbb{C}$
我们需要证明的命题如下:令$F$为包含$\mathbb{R}$的任意一个域,它满足性质$\dim_{\mathbb R}F < \infty$。然后我们有$F \cong \mathbb R$或者$F \cong \mathbb C$。下面我们给出三个证明,其中第一个证明最为简洁,最后一个最为复杂。证明:由代数闭包的唯一性,我们有嵌入$F \hookrightarrow \mathbb C$,因此我们有$\mathbb R \subset F \subset \mathbb C$。然后命题结论可由$[\mathbb C:\mathbb R]=2$得出,因为这排除了真中间域的存在。证明2:因为$F$在$\mathbb{R}$上是有限维的,它在$\mathbb{R}$上代数。这是关于域扩张的一个基本事实:如果$a\in F$,然后$1,a,a^2,\dots,a^n$在$\mathbb{R}$上线性相关,这里$n=\dim_{\mathbb{R}}F$。所以$F$的每个元素是一个$\mathbb{R}$系数多项式的根。如果$-1$在$F$中不是一个平方,我们可以添加一个平方根$j$( ...