阿基米德性质的乘法形式
我的提问:令$(\Gamma,+,\leq)$为一个有序阿贝尔群。我们知道阿基米德性质可以表述为:对所有$a,b\in\Gamma$,如果$a>0,b\geq0$,则存在$n\geq0$使得$b\leq na$。然而如果我们考虑乘法的情况,即有序阿贝尔群是$(\Gamma,\cdot,\leq)$。是否存在乘法形式的阿基米德性质?我认为存在。并且我对它的描述如下:对于所有$a,b\in\Gamma$,如果$b<1,a\leq1$,则存在$n\geq0$使得$b^{n}\leq a$。这是正确的吗?实际上,我没能证明它等价于$\Gamma$有凸秩1。回答:你正确地叙述了阿基米德性质的乘法版本。令$\Gamma$为一个满足阿基米德性质的有序乘法群。假设$H$是$\Gamma$的一个凸子群,且满足$H\ne \{1\}$。令$1\ne x\in H$。然后有$\{x,x^{-1}\}\subset H$,且$\{x,x^{-1}\}$中的一个成员是$>1$。因此,不失一般性,令$1<x\in H$。(i). 如果$1\le y\in\Gamma$,存在$n\in \B ...