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2024-10-06 16:23

每天3分钟CHO小课堂：多运动，让你的大脑更年轻！

#每天3分钟CHO小课堂#

经常运动的人，大脑真的更年轻！

运动有助于促进更多脑细胞的新生，

让大脑更快速、高效地运转起来。

与此同时，运动消耗掉多余的脂肪，

还能给大脑减负，让大脑更健康。

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群胚之间的全忠实函子在对象上单射？

我的提问：令$\cal{C}$和$\cal{D}$为两个群胚，即态射都是同构的范畴。令$F:\cal{C}\rightarrow\cal{D}$为一个从$\cal{C}$到$\cal{D}$的全忠实函子。然后$F$在对象上单射吗？换句话说，对象函数$F:{\rm{Ob}}(\cal{C})\rightarrow{\rm{Ob}}(\cal{D})$是单射的？回答：不是。给定任意一个集合$X$，我们可以构造一个叫做$X$上的非离散群胚的群胚，它对$x, y \in X$都有一个唯一的同构$x \to y$。每一个集合间的函数$f : X \to Y$都能导出一个非离散群胚之间的全忠实函子，不管$f$是否是单射的。事实是范畴（不一定群胚）间的一个全忠实函子$F : C \to D$能导出一个对象同构类上的单射。想知道为何，令$i : F(c_1) \cong F(c_2)$为一个同构。因为$F$是全的，$i = F(i')$对某个$i' : c_1 \to c_2$，然后类似的$i^{-1} = F(j)$对某个$j : c_2 \to c_1$。于是，我们有$F(i' \circ j) ...

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提问：令$(X, O_X)$为一个概形，然后$I$是一个幂零的理想层，即$I^n=0$对某个$n$。这是否意味着每个$I(U)$都是$O_X(U)$的一个幂零理想？回答：令$I\subseteq \mathcal{O}_X$是一个理想层，然后令$\mathcal{F}$为一个预层，它对每个$X$的开集$U$，都对应一个理想$I(U)^n\subseteq \mathcal{O}_X(U)$。你说$I$是$n$阶幂零的如果$\mathcal{F}^\#$是零，其中$\#$用于表示层化。但是因为$\mathcal{F}$是一个分离的预层，作为$\mathcal{O}_X$的子层，我们有$\mathcal{F}=0$当且仅当$\mathcal{F}^\#=0$（例如参考[1, Tag00WB]）。因此，我们推断出以下结论：事实：令$X$是一个概形，而$I$是$\mathcal{O}_X$的一个理想层。然后下面的都是等价的：1. 对所有开集$U$，理想$I(U)^n$是零。2. 预层$U\mapsto I(U)^n$的层化是零。[1] 多位作者, 2020. Stacks project. h ...

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