本圈子主要分享一些简单且有趣的数学题，用于娱乐目的以及放松头脑。
本题转自X。下图中，你看到了多少个三角形？选项如下：
1）9
2）12
3）10
4）11
5）13
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我的提问：定理 22.3（定义域的光滑不变量）令$U \subset\mathbb{R}^n$为一个开子集，$S \subset\mathbb{R}^n$为一个任意子集，并且$f : U \rightarrow S$是一个微分同胚。那么$S$在$\mathbb{R}^n$中是开集。我无法理解为何集合$S$在$\mathbb{R}^n$中并不是自动开的。映射$f$是一个微分同胚，这意味着它在两个方向都是连续的，所以$S$是开的。回答：首先你所知道的是$U$中的开集$V$满足：$f(V)$在$S$中开，不是$f(V)$在$\mathbb{R}^n$中开。所以$f(U)=S$是在$S$中开。那个推断是说接着$f(U)=S$自动在$\mathbb R^n$中开，这是不一样的并且不是自动的。它需要证明。PS：这里说的是拓扑学中关于开集的一个重要盲点，即开集是相对的。尤其是考虑某个拓扑空间中的子集，要弄清楚究竟是在子集内开，还是在全空间内开。
提问：我需要仅通过不等式证明$\forall x \in \mathbb{R}$：$$\frac{x(1-x)^2}{(1+x^2)^2} \leq \frac{1}{4}$$不考虑函数$f(x) = \frac{x(1-x)^2}{(1+x^2)^2}$。我尝试证明差$$\frac{x(1-x)^2}{(1+x^2)^2} - \frac{1}{4}$$是负数，因此我发现接着我们需要证明$$-x^4+4x^3-10x^2+4x-1 \leq 0$$但没有任何结果。你有办法证明这一点吗？回答：你已经快要解决了。只需要用另一种方式将你的不等式写出来：$$x^4-4x^3+10x^2-4x+1\ge 0$$现在注意到$$\begin{align*}x^4-4x^3+10x^2-4x+1&=(x^4-4x^3+6x^2-4x+1)+4x^2\\&=(x-1)^4+(2x)^2\\&\ge 0\end{align*}$$翻译自Mathstackexchange：inequality without using study of function
提问：求解：$$\int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2+1}}=\int \frac{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{x^2+1}}{-2x^2}dx=-\frac{1}{2}\left(\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2}dx-\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}dx\right)$$在第一个积分式中令$x=\sin\theta$，$dx=\cos\theta d\theta$在第二个积分式中令$x=\sinh \varphi$，$dx=\cosh\varphi d\varphi$$$-\frac{1}{2}\left(\int \frac{\sqrt{1-\sin^2\theta}}{\sin^2\theta}\cos\theta d\theta-\int\frac{\sqrt{\sinh^2\varphi+1}}{\sinh^2\varphi}\cosh\varphi d\varphi\right)=-\frac{1}{2}\left(\int \frac{\cos^2\theta}{\sin^ ...
在上贴中分析学大师Elias M. Stein的分析系列教材，我分享了Elias M. Stein的分析全系列英文版，然而有人说想看中文版。经过我的查找，发现网络上流出的Stein中译书很少，最后只找到了比较知名的《复分析》和《实分析》。PS：由于文件较大，两本书分成了3个压缩包分卷上传。
在上帖中我分享了Tammo Tom Dieck代数拓扑教材，并对比了Tammo Tom Dieck与Hatcher的教材有啥区别。现在我将Hatcher的代数拓扑教材分享出来，给有需要的人。Hatcher的教材相比于Tom Dieck的，图文并茂，有更精美丰富的插图，能让读者更加直观的理解。这适合入门代数拓扑的小白，或者是喜欢几何直观的人。
这是朋友推荐给我的国外健身教程。本书非常专业，配有很多解剖图来给你讲解每个动作。然而书中的英文很多都是生物学的术语，因此阅读难度较高，并且生物学的英文冗长而无规律，有些单词连老外都觉得难。此书适合想要学习专业健身知识的人，当然感兴趣的也能瞧瞧，毕竟这种英文教程应该很少有，反正我没见过。
本书还是朋友推荐系列，书中涉及到了脊柱侧弯的治疗，大概是教你如何通过正确的瑜伽来治疗你的脊柱侧弯。书中还有真人插图，算是想手把手教你瑜伽动作吧。
今天我完善了弦圈的签到功能，并将其放置于首页。接着我新增了智力值和金币这两个用户特征，算是完成之前的计划 10月底至11月初，弦圈功能更新：上传附件。接着，我还顺带完善了一下附件上传功能。智力值其实就是用户的经验值，初始值是100，通过每天签到即可获得10点。而金币呢，看起来是付费的，但其实金币是免费获得的。我的设想是，每天签到获得智力值，而智力值可以存在小金库中产生金币，像钱存在银行中有利息一样，这就是所谓知识的力量😇！书中自有黄金屋！目前小金库还没来得急写，之后相关功能会陆续补上。并且以前的一些功能，还会进一步完善和优化，提高网站的使用体验。
熟知Grothendieck都知道，他有代数几何三部曲：EGA、SGA、FGA。其中知名度最高的无疑是EGA和SGA，他们可以说是代数几何的圣经，是无数重要且知名概念和理论的源头。相较于SGA，EGA受众可能更大些，看的人也更多些。毕竟SGA只是讨论班，而EGA则相当于代数几何的百科词典。在上帖中，我已经分享了SGA法语原版全系列（链接：代数几何教皇Grothendieck经典著作：代数几何讨论班法语原版全系列），EGA法语全系列相较于SGA在当年要好收集一些，但也不容易。在当时已经有中文翻译版了，还有英文版翻译，我都看过，最后觉得还是法语版最好，英文版次之。因为有些术语翻译成中文，真的不太好理解，见英语不好，读不懂英文数学教材怎么办？不过之后我还是会把中文翻译版和英文翻译版都发出来。接着我还发一发Grothendieck的其他著作，包括收获与播种、伽罗华长征、一个纲领的提纲（Esquisse d'un Programme）等。EGA有四系列，为EGA 1-4，但总共分为8册书，EGA 3有两本，EGA 4有四本。由于文件较大，我分成两贴将这些东西发完。本贴先发EGA 1-3，需要下载 ...
续上贴代数几何教皇Grothendieck经典著作：代数几何原理法语原版全系列（1），继续发最后的EGA 4。EGA 4分为a、b、c、d四册书，篇幅也比EGA 1-3要大。所以文件也会比较大，这次我分为五个压缩包分卷下载（属实抱歉服务器原因，尽量上传和下载小附件）。
据《朝日新闻》，望月新一关于ABC猜想的论文可能将要发表，审核它的期刊是《数理解析研究所公刊》（PRIMS）。媒体对此的报道大抵聚焦在两点上：一是这个期刊就是他的工作单位主办的，一是这个论文几乎无人能懂。作为一个数学研究者，我个人并不担心望月新一的利益冲突问题，不但因为数学界有一套相当完备的系统用以避免利益冲突，在选定编辑和审稿人时有良好的避嫌标准，更重要的是：他没有动机。他已经功成名就，不需要什么文章。数学这种东西，对就对，错就错，不存在编数据或者实验造假，一切细节都在文章里。要是错了，无论强行发表在什么期刊上，也终有一天会被发现，而一发现就无可抵赖，只能重新修补。但是他的理论绝不仅仅是一个“几乎无人能懂”的怪物而已。它所试图解决的根本数学问题，它背后的当代数学界的面貌，它反映出的做数学研究是怎样的状态，这里面还有太多的故事并不是、也不应该是只有几个人能懂。甚至也许可以说，这些故事能让人直观地感受到：现代数学是什么。破题望月新一的研究领域，是所谓的“远阿贝尔几何学”。如果一句话解释这个领域的话，我只能这样写：有理数的绝对伽罗华群，以至任意代数簇的平展基本群，它们“远离阿贝尔”的部分， ...
这篇文章是数学家与计算机科学家合作写的，将范畴论应用于人工智能的强化学习。本文表示，强化学习算法与强化学习算法的复合，还是一个强化学习算法，因而所有强化学习算法构成一个范畴$\textrm{Learn}$。然后在$\textrm{Learn}$里考虑神经网络，并证明在一般情况下，梯度下降也是复合的。如果对纯数学理论，在计算机或者AI有什么应用感兴趣的人，可以看看。我当时下这篇文章，也是好奇代数领域在AI方面有啥应用，其实当时已经知道有个叫热带几何（Tropical Geometry）的领域，就是代数几何在计算机的应用。因为当时AI就很火，但AI可解释性需要很多数学来解决，他们解决不了，所以我留着这篇文章也是打算之后写篇类似的AI应用的文章。
这是Grothendick著名的关于同调代数的文章Tôhoku paper的法语原版，该文章概述了很多同调代数的重要概念，其中基本都跟代数几何有联系，并且里面不少概念其实是Grothendick本人提出来的，如abelian categories。可以说这篇文章是同调代数的经典文章，在数学圈内也时常有人推荐看这篇文章，毕竟这可是祖师爷亲自从同调代数的基础概念一步步讲起，这对学同调代数或者代数几何的人都有很大裨益。PS：该文章分为两个pdf，英文翻译版见Grothendick经典同调代数文章：Some aspects of homological algebra
EMS出版的代数拓扑教材Algebraic Topology，作者是Tammo Tom Dieck。本教材相较于Hatcher的书，没有那么太多的插图，并且内容更加抽象。本书知识密度高，内容精炼简洁，没有过多的废话。很适合有一定代数基础，且喜欢直接切入主题，快速学习的人。对于还未入门的小白而言，这本书不太适合作为代数拓扑的入门教材。我高中的时候就在看这本教材，但总在一些地方无法彻底理解。但这本教材吸引我的地方，一是它的内容涵盖面够广，并且知识密度够高，能够让我短时间内掌握代数拓扑方面的基础知识；二是它的描述更加的抽象，并且语句简洁明了、容易理解，很符合我的口味（这也是我当时选择代数几何的原因）。关于本教材与其他代数拓扑教材更具体、更专业的对比，请看Algebraic Topology I: 对教材跟概念的一些论述。
关键词：Homotopy, Homology, Groupoid, Foundamental Group, Van Kampen Theorem, Covering Space, Covering Projection, Fibration with unique path lifting, Cofibration.Tammo tom Dieck 在他的代数拓扑教材中写了非常漂亮的前言，在点出代数拓扑精髓的同时还包含一些形而上学的哲思，并且简略地介绍了代数拓扑里面的两个核心词汇，同伦(homotopy) 跟同调 (homology)。我简要地部分翻译如下：代数拓扑是连续数学跟离散数学交相辉映的学科。在连续数学里面，我们用拓扑空间和连续映射这样普遍的形式语言将其公理化。而离散数学则是被我们用来表达代数和组合概念的。在数学语言中，我们用实数来概念化连续形式，但我们建立实数时却是要用到整数。下面举个例子，我们直觉地认为时间是一个连续的没有间断的流动过程，是由一系列不停止的瞬间后继构成的。但在实践中，我们却使用被定义为有周期性的离散模型工具跟自然过程。同样地，我们意识到空间是一个连续体，但我们 ...
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