我的提问：定理 22.3（定义域的光滑不变量）令$U \subset\mathbb{R}^n$为一个开子集，$S \subset\mathbb{R}^n$为一个任意子集，并且$f : U \rightarrow S$是一个微分同胚。那么$S$在$\mathbb{R}^n$中是开集。

我无法理解为何集合$S$在$\mathbb{R}^n$中并不是自动开的。映射$f$是一个微分同胚，这意味着它在两个方向都是连续的，所以$S$是开的。

回答：首先你所知道的是$U$中的开集$V$满足：$f(V)$在$S$中开，不是$f(V)$在$\mathbb{R}^n$中开。所以$f(U)=S$是在$S$中开。那个推断是说接着$f(U)=S$自动在$\mathbb R^n$中开，这是不一样的并且不是自动的。它需要证明。

PS：这里说的是拓扑学中关于开集的一个重要盲点，即开集是相对的。尤其是考虑某个拓扑空间中的子集，要弄清楚究竟是在子集内开，还是在全空间内开。