我的提问：令$\cal{C}$和$\cal{D}$为两个群胚，即态射都是同构的范畴。令$F:\cal{C}\rightarrow\cal{D}$为一个从$\cal{C}$到$\cal{D}$的全忠实函子。然后$F$在对象上单射吗？换句话说，对象函数$F:{\rm{Ob}}(\cal{C})\rightarrow{\rm{Ob}}(\cal{D})$是单射的？

回答：不是。给定任意一个集合$X$，我们可以构造一个叫做$X$上的非离散群胚的群胚，它对$x, y \in X$都有一个唯一的同构$x \to y$。每一个集合间的函数$f : X \to Y$都能导出一个非离散群胚之间的全忠实函子，不管$f$是否是单射的。

事实是范畴（不一定群胚）间的一个全忠实函子$F : C \to D$能导出一个对象同构类上的单射。想知道为何，令$i : F(c_1) \cong F(c_2)$为一个同构。因为$F$是全的，$i = F(i')$对某个$i' : c_1 \to c_2$，然后类似的$i^{-1} = F(j)$对某个$j : c_2 \to c_1$。于是，我们有$F(i' \circ j) = F(i') \circ F(j) = \text{id}_{F(c_2)} = F(\text{id}_{c_2})$，所以由于$F$是忠实的，$i' \circ j = \text{id}_{c_2}$，然后另一个复合是类似的。因此$j = (i')^{-1}$并且$i' : c_1 \cong c_2$是一个同构。（在非离散群胚中，每个对象都被构造成同构的。）