我的提问：令$\cal{C},\cal{D}$为范畴（或者栈）。令$F:\cal{C}\rightarrow\cal{D}$是一个本质满射的函子，即在对象同构类上满射。然后$F$是小范畴（或者栈）范畴中的一个满态射吗？回答：不是。例如，任何一个对象的范畴之间的函子是本质满射的，但是如果$M_1, M_2$是两个非零幺半群，那么一个直和项的包含映射$M_1 \to M_1 \oplus M_2$，看成是两个单对象范畴间的一个函子，不是一个范畴的满态射。不过记住，“小范畴范畴中的满态射”由于多种原因，在任何特定应用中，都显然不是“正确”的概念。它抛弃了自然变换，所以你忽略了这样一个事实，即你其中在2-范畴里操作；并且在任何特定情况下，你可能需要各种“满态射”的概念。

我的提问：众所周知，范畴中对象之间的态射都是保持结构的。但是在一本教材中，我发现它说态射一般是保持结构的。这是否意味着存在不保持结构的态射？回答1：一个范畴不需要非得由带有某些额外结构的集合与保持这个结构的映射构成。不是这种类型的范畴的例子有：给定任意一个群$G$，我们可以构造一个范畴，它由一个对象$*$和每个$g\in G$的一个态射$\varphi_g\colon *\to *$组成。这里，态射的复合通过群运算来定义，并且$\operatorname{id}_* = \varphi_{e}$对于单位元$e\in G$。给定一个偏序集$(P,\le)$，我们可以构造一个范畴，它由对象集$P$和每个满足$x\le y$的$x,y\in P$有且仅有一个的态射$x\to y$组成。拓扑空间的同伦范畴，它的对象都是拓扑空间，每个态射$X\to Y$是一个连续映射$f\colon X\to Y$的同伦群$[f]$。回答2：我认为问题出在这里众所周知，范畴中对象之间的态射都是保持结构的。事实并非如此。范畴这个概念推广了“带有结构的集合和保持结构的函数”，例如群和同态，或者拓扑空间和连续映射。但 ...

我的提问：令$\cal{C}$和$\cal{D}$为两个群胚，即态射都是同构的范畴。令$F:\cal{C}\rightarrow\cal{D}$为一个从$\cal{C}$到$\cal{D}$的全忠实函子。然后$F$在对象上单射吗？换句话说，对象函数$F:{\rm{Ob}}(\cal{C})\rightarrow{\rm{Ob}}(\cal{D})$是单射的？回答：不是。给定任意一个集合$X$，我们可以构造一个叫做$X$上的非离散群胚的群胚，它对$x, y \in X$都有一个唯一的同构$x \to y$。每一个集合间的函数$f : X \to Y$都能导出一个非离散群胚之间的全忠实函子，不管$f$是否是单射的。事实是范畴（不一定群胚）间的一个全忠实函子$F : C \to D$能导出一个对象同构类上的单射。想知道为何，令$i : F(c_1) \cong F(c_2)$为一个同构。因为$F$是全的，$i = F(i')$对某个$i' : c_1 \to c_2$，然后类似的$i^{-1} = F(j)$对某个$j : c_2 \to c_1$。于是，我们有$F(i' \circ j) ...

This short note originated from a short talk of basic category theory in 2022. Category theory was first introduced by Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane in the 20th century. It rapidly became a strong tool in almost all domains of mathematics. Category theory studies the abstract structures of different mathematical objects, and it also has applications on computer science, including AI.1. CategoriesIn this section, we will first lay out the general definition of categories, then we give so ...