弦圈

我的提问：例如单位分解（partition of unity）中的求和以及抽象代数中的多项式表达式。回答：拥有无限多项的求和（或者说更加正式的“级数”）需要一些额外的条件来保证他们“表现良好”（"well behaved"）。否则你可能得到像以下这样的悖论：$$\begin{align} &S = 1 + 1 + 1 + \dots \\ &\Rightarrow 2S = 2 + 2 + 2 + \dots \\ &\Rightarrow 2S = (1+1) + (1+1) + (1+1) + \dots \\ &\Rightarrow 2S = 1 + 1 + 1 + \dots \\ &\Rightarrow 2S=S \\ &\Rightarrow S = 0 \end{align}$$一般地，额外的条件包含，要求除了有限数量的项都为$0$（数学简称中的“几乎所有”）或者收敛条件来确保求和有一个极限值。本问题问于2020年1月22号，当时我在读高三，提问的水平非常差😅，跟Peter Scholze这种高中就懂谱序列的没得比🙃。

我的提问：我无法理解在这个证明中，归纳法这个步骤是如何进行的。有人能帮帮我吗？感谢！回答：令$n = deg B$。他们通过对$m = deg A$做归纳法来证明那个陈述。基本情况是$m < n$。如果$m \geq n$，然后他们找到另一个多项式$A'$，在这种情况下，$A' = A - B a_m X^{m - n}$，并且它有比$m$更小的阶数。所以我们可以通过归纳假设来处理它。$A′$的商和余数表达式是用于找到$A$的。我想有两件事你可能会觉得困扰，以及为什么你没有认出归纳法。首先，基本情况不仅仅是一种情况，而是一堆情况。这里请注意，这是基本的：证明中的归纳步骤仅适用于$m\geq n$。同时注意，在这种情况下，证明$m=1$的工作量并不比证明$m<n$小：对于所有这些情况，这都是一行证明。你可能会觉得困扰的第二件事是，我们不仅对$m-1$使用归纳假设，对任何阶数严格小于$m$的多项式也使用归纳假设。这被称为完全归纳法或强归纳法：在归纳步骤中，你假设的是，命题不多于$m-1$时都是真的，而不仅仅是$m-1$。这在维基百科的“归纳法”页面上得到了很好的解释。

我的提问：令$\cal{C},\cal{D}$为范畴（或者栈）。令$F:\cal{C}\rightarrow\cal{D}$是一个本质满射的函子，即在对象同构类上满射。然后$F$是小范畴（或者栈）范畴中的一个满态射吗？回答：不是。例如，任何一个对象的范畴之间的函子是本质满射的，但是如果$M_1, M_2$是两个非零幺半群，那么一个直和项的包含映射$M_1 \to M_1 \oplus M_2$，看成是两个单对象范畴间的一个函子，不是一个范畴的满态射。不过记住，“小范畴范畴中的满态射”由于多种原因，在任何特定应用中，都显然不是“正确”的概念。它抛弃了自然变换，所以你忽略了这样一个事实，即你其中在2-范畴里操作；并且在任何特定情况下，你可能需要各种“满态射”的概念。

我的提问：众所周知，范畴中对象之间的态射都是保持结构的。但是在一本教材中，我发现它说态射一般是保持结构的。这是否意味着存在不保持结构的态射？回答1：一个范畴不需要非得由带有某些额外结构的集合与保持这个结构的映射构成。不是这种类型的范畴的例子有：给定任意一个群$G$，我们可以构造一个范畴，它由一个对象$*$和每个$g\in G$的一个态射$\varphi_g\colon *\to *$组成。这里，态射的复合通过群运算来定义，并且$\operatorname{id}_* = \varphi_{e}$对于单位元$e\in G$。给定一个偏序集$(P,\le)$，我们可以构造一个范畴，它由对象集$P$和每个满足$x\le y$的$x,y\in P$有且仅有一个的态射$x\to y$组成。拓扑空间的同伦范畴，它的对象都是拓扑空间，每个态射$X\to Y$是一个连续映射$f\colon X\to Y$的同伦群$[f]$。回答2：我认为问题出在这里众所周知，范畴中对象之间的态射都是保持结构的。事实并非如此。范畴这个概念推广了“带有结构的集合和保持结构的函数”，例如群和同态，或者拓扑空间和连续映射。但 ...

令$A,B$为特征$p$的交换环。令$\phi_{A}:A\rightarrow A,\phi_{B}:B\rightarrow B$为Frobenius态射，即$p$次方映射。如果我们有 ${\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}A\cong {\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}B$，其中transition映射为Frobenius态射，那么我们可以得出$A\cong B$吗？答案：不能。回顾一下，一个$\mathbb{F}_p$-代数$R$是完美的，如果它的Frobenius映射$\varphi : R \ni r \mapsto r^p \in R$是一个同构。Frobenius态射的次方的余极限${\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}R$是$\mathbb{F}_p$-代数$R$的完美化，并且它这样命名是因为它是完美$\mathbb{F}_p$-代数到$\mathbb{F}_p$-代数的包含映射的左伴随。这使得完美$\mathbb{F}_p$-代数构成了一个$\mathbb{F}_p$-代数的反射子范畴，这意味着在完美 ...

本文我们探讨这个问题：是否存在一种扩张复数域$\mathbb{C}$的方法，使得$\mathbb{C} \subset\mathbb{C}[a]$？或者$\mathbb{C}$是所有域扩张的终点？下面围绕这个问题，我们将提供两种扩张复数域$\mathbb{C}$的方法。方法1：$\mathbb{C}$的笛卡儿积$$P = {\Bbb C}\times{\Bbb C}\times\cdots$$并不是一个域，因为它有零因子：$$(0,1,0,1,\cdots)(1,0,1,0\cdots)=(0,0,0,0,\cdots)。$$但是将零因子商掉，就能得到一个域。令$\mathcal U$为$\Bbb N$上的一个nonprincipal ultrafilter。我们定义$$(a_1,a_2,\cdots)\sim(b_1,b_2,\cdots)$$当$$\{n\in\Bbb N\,\vert\, a_n=b_n\}\in\mathcal U。$$然后商$F = P/\sim$就是一个严格比$\mathbb{C}$大的域，我们称这个域为超积（英语：ultraproduct）。并且嵌入映射$ ...

我们需要证明的命题如下：令$F$为包含$\mathbb{R}$的任意一个域，它满足性质$\dim_{\mathbb R}F < \infty$。然后我们有$F \cong \mathbb R$或者$F \cong \mathbb C$。下面我们给出三个证明，其中第一个证明最为简洁，最后一个最为复杂。证明：由代数闭包的唯一性，我们有嵌入$F \hookrightarrow \mathbb C$，因此我们有$\mathbb R \subset F \subset \mathbb C$。然后命题结论可由$[\mathbb C:\mathbb R]=2$得出，因为这排除了真中间域的存在。证明2：因为$F$在$\mathbb{R}$上是有限维的，它在$\mathbb{R}$上代数。这是关于域扩张的一个基本事实：如果$a\in F$，然后$1,a,a^2,\dots,a^n$在$\mathbb{R}$上线性相关，这里$n=\dim_{\mathbb{R}}F$。所以$F$的每个元素是一个$\mathbb{R}$系数多项式的根。如果$-1$在$F$中不是一个平方，我们可以添加一个平方根$j$（ ...

高代继续吐槽：我今天才发现书上线性空间的定义竟然还是在数域上的。我就想不懂用域不行吗？即便学生不懂介绍个域的概念有多难，中学生都能理解的东西，大学学数学专业课的人会理解不了？各种定义原本应该是非常一般的东西偏偏要降低一个档次，把域换成数域。是因为作者觉得数域上才具有足够具体的操作性吗？我不觉得这成立，数域是域的特殊情况，讲域不会影响些什么，其实国内教材里面数域这个概念根本就是多余的，我没见过国外哪个好的教材会讲数域这个概念。英文上number field是algebraic number field的简称，是有理数域的有限扩张，跟国内的数域完全不同。比如说，实数域不是数域，因为它viewed as linear space over $\mathbb{Q}$的维度是无限的，即不是有理数域上的有限扩张。因此如果有能力的话尽量别看国内的这种教材，它会误导你对数学正确的理解，多看国外英文教材，当然我不否定国内也有好的教材。——————————————————————本文原于2021年3月12日 09:46发布于QQ空间评论：好的教材对考研和期末考没啥帮助PS：关于国内外教材的对比，到底谁更好 ...

大学数学颠覆惯性思维系列之向量可以没有方向。线性代数有个东西就做向量空间，向量空间有两种封闭的运算（加法和数乘）。只要是向量空间里面的元素都叫做向量vector，我管你有没有方向direction。只要一个集合里的元素满足下图的那些公理，它都能叫做向量。我们高中所学的向量严格来讲叫做欧几里得向量（Euclidean vector）或者几何向量，它被定义为既有大小（magnitude）又有方向（direction）的一个有向线段，又或者说跟高深一点它是一个等价类（equivalence class）。总之高中所学的向量是十分狭义意义上的向量，并不是一般意义上的。为了方便理解，我举一个最trivial的例子。比如$\mathbb{R}$是$\mathbb{R}$上的向量空间，于是$\mathbb{R}$里的元素就被称为向量，显然$\mathbb{R}$里的元素就是我们之前所熟知的标量，但是它同时可以是一个向量。因此，数学里一样东西是不是向量跟它有没有方向并没有什么必然关系，标量同样可以是向量。PS：话说高中时期的标量定义也很狭义，在一般意义上，标量就是向量空间的系数域里的元素。但这也不影响 ...

学了几天的数学分析实在不想学了，因为太乏味了，反正自己很多都已经学过了，以后需要再补吧，又或者说一时心血来潮的时候再看。今天我终于重回同调代数，我现在还记得临近高考的那段时间里我一直在专攻同调代数，那也是我同调代数飞速进步的时期，因为之前我一直觉得同调代数好难，非常难啃，概念太过抽象。而现在很多以前觉得困难的东西，自己也开始觉得简单了，这就是积累的过程。对我来说，数学怎么学好，就是不断地阅读、阅读、再阅读，直到心中的疑云已然消散，所有的一切都显得如此简单，就像流水一样自然，因为数学本来就是自然的。虽然我现在学同调代数起来比以前轻松很多，但是仍有那么一些问题，我怎么想都想不明白，但是我并不感到害怕，因为这便是学数学的乐趣所在，当有个问题你思考了很久很久，几个小时、几天或者几周，甚至几个月、几年，然后某天突然间你有了灵感并解决了这个问题，这其中的快乐简直难以形容！其实我刚开始学研究生的时候，基础半斤八两，本科的东西都没学完，研究生的数学对我来说就像是天书一样。可是我不在意这些，我不在意我是否有天赋、是否有能力去学习这些东西，我只有一个目的即是揭开现代数学神秘的面纱。就这样，我从高一开始坚持 ...

ABSTRACTIn this chapter, the concept of anti-homomorphisms in Rings is studied and many results are established.INTRODUCTIONThe concept of anti–homomorphism in groups and rings is not found much in the literature. Authors like Jocobson Neal McCoy and Zariski and Samul have touched this concept in a lighter way. The reason is perhaps that the composition of two anti-homomorphisms is not an anti-homomorphism, but a homomorphism. This discouraged the mathematicians to move further. In 2006, G. Gopa ...