映射

在很多数学分支中,术语映射函数的同义词,有时指带有对该分支特别重要的特定性质的函数。例如,一个“映射”是拓扑学中的一个“连续函数”,是线性代数中的一个“线性变换”,等等。

在微分几何中,作者可能会用“函数”表示陪域是数集(即$\mathbb R$或$\mathbb C$的子集)的映射,而将映射这个词保留给更一般的函数

在范畴论中,“映射”经常被用作“态射”或者“箭头”的同义词,它通常是一个保持结构的函数,并因此可能意味着比“函数”更多的结构。

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国内外关于“函数”与“映射”定义的差别

函数=映射:在中国的高中教材中,函数被定义为两个非空数集之间的一种对应关系,而映射则被定义为两个非空集合之间的一种对应关系(事实上,这两个集合完全可以是空集)。但其实这两个定义可以说已经过时了,如今在英文中函数function,其实就相当于我们中文的映射。而英文中映射mapping或者map,它的意思就广了,它既可以是function的同义词;也可以相当于function的推广,即范畴中两个任意对象之间的态射morphism(参见范畴论,懒得举例子),它比function要更加general,即function只是morphism的一种特殊情况。废话不多,所以结论就是,函数function其实就是两个集合之间的映射(集合未必非空)。PS:说着说着突然感觉有点绕,意思理解就好。。因此可以说国内的高中数学教材并没有顺着国际的潮流还有惯例走,自己说自己的一套,而且说得还不怎么好——有框死一个学生思维的缺点。参考文献: https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)#Relational_approach https://en.wikipedia.org/wiki/Map_(mathematics)图1 维基百科关于映射的定义图2 维基百科关于函数的定义——————————————————————PS:关于范畴论的简单介绍,请看 A short introduction to category theory本文原于2020年8月9日 16:49发布于QQ空间。自己评论:个人建议如果查学术之类的东西还是最好用维基百科吧,感觉百度百科并不怎么可靠,而且有些内容还有抄袭wiki的嫌疑。。顺便一提,维基需要翻墙才能上。。
2024-10-09 21:35:06