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以下短文为我2022年3月3日朋友圈的感想，如今分享出来lyh说得有理！就比如我一周十几节课，天天早八，结果就是我虽然很累，但是脑子根本就没转几下。本科的课堂对我而言根本没有什么思维强度，以至于上课我总是打瞌睡😢。以前我可能会很不喜欢某些课，但现在我的心态就是能学多点也不亏，随缘。做研究是一件其具挑战性的事情，你得站在无法预知的交叉路口，凭借自己的眼光、胆识，去艰难开辟一条属于自己的道路。这完全不是学习强度能够简单衡量的。我觉得只有我读文献的时候，才感到自己脑袋真的动起来了。为了深刻理解文献的内容，我需要做一个又一个的计算，我不知道其它分支是不是也是这样的，但似乎学本科的数学，读定义根本不需要做什么计算。同时，每接触一个全新的东西，你都得熟悉它的background，了解它的motivation，然后找一些例子，做一些计算等等，这些过程往往会耗费大量的时间和精力，最重要的是会产生巨大的压力。读文献，你每天都会接触很多全新的概念，新到你学之前完全无法想象得到它的存在。因此，我个人觉得学数学感到痛苦是一件很正常的事情，我相信每个学数学的人无论水平如何都会感到痛苦，尤其是读证明的时候。😣看了lyh的话，我似乎也开始明白为什么自己学数学、做研究的方法这么难传授给那些同样想学数学的人。因为这些东西本身就没有固定的流程，并不是标准化的流水线工程。很多时候，有的东西就是一种感觉，我只不过是努力将自己的感觉通过语言表达出来，希望别人能够理解。最后我想拿Peter Scholze说过的话来共勉：在一个采访中，问Scholze觉得看数学痛苦吗？有没有办法让数学论文更加简单更容易理解？Scholze说痛苦，但是他觉得这些痛苦是有价值的，虽然他不知道别的数学领域，但是他自己这块这些痛苦是必须的。

据《朝日新闻》，望月新一关于ABC猜想的论文可能将要发表，审核它的期刊是《数理解析研究所公刊》（PRIMS）。媒体对此的报道大抵聚焦在两点上：一是这个期刊就是他的工作单位主办的，一是这个论文几乎无人能懂。作为一个数学研究者，我个人并不担心望月新一的利益冲突问题，不但因为数学界有一套相当完备的系统用以避免利益冲突，在选定编辑和审稿人时有良好的避嫌标准，更重要的是：他没有动机。他已经功成名就，不需要什么文章。数学这种东西，对就对，错就错，不存在编数据或者实验造假，一切细节都在文章里。要是错了，无论强行发表在什么期刊上，也终有一天会被发现，而一发现就无可抵赖，只能重新修补。但是他的理论绝不仅仅是一个“几乎无人能懂”的怪物而已。它所试图解决的根本数学问题，它背后的当代数学界的面貌，它反映出的做数学研究是怎样的状态，这里面还有太多的故事并不是、也不应该是只有几个人能懂。甚至也许可以说，这些故事能让人直观地感受到：现代数学是什么。破题望月新一的研究领域，是所谓的“远阿贝尔几何学”。如果一句话解释这个领域的话，我只能这样写：有理数的绝对伽罗华群，以至任意代数簇的平展基本群，它们“远离阿贝尔”的部分，也就是不符合交换律ab=ba的部分，会如何影响相应代数结构的性质。看不懂这句话是正常的。要解释这个领域研究的是什么，可能需要整整一篇文章（可以参看http://songshuhui.net/archives/96606），还不一定能解释清楚。而且那篇文章还得找一个远阿贝尔几何的专家，不是像我这样搞组合数学的人。是的，对于望月新一的体系，我其实也只算理解基础，是数学界内部的吃瓜群众。但面对这个体系，很多数学家的境况并不比我好得多。包括菲尔兹奖得主陶哲轩，包括望月新一的恩师法尔廷斯，他们都抱怨望月新一的证明太简略太难懂。现在，懂得整个证明的，除了望月新一之外，据说只有十几个人，大部分在日本，其他在美国和法国。但是，如果他是对的，那就意味着代数几何的重大革新。一个人能够改变一个学科吗？一个新的证明或者理论体系，给数学界带来重大影响，这并不是第一次。大卫·希尔伯特也许是最重要的现代数学家之一，光是他在1900年提出的那23个数学问题就差不多贯穿了整个世纪。他的成名之作，那篇“终结了不变量理论”的论文，在当时就引起了巨大的争议。此前，不变量理论的大多数进展都基于具体的计算，需要给出具体的结果。这样的证明又叫构造性证明。但希尔伯特的证明不属此列，而分属“存在性证明”，能断言某个数学对象的确存在，但对于如何计算却绝口不提。他一开始投稿恰好碰上了当时的“不变量之王”哥尔丹。哥尔丹对这样的证明颇有微词，他的退稿评价是：这不是数学，这是神学。但最终希尔伯特幸得克莱因的保荐（“这无疑是这本杂志发表过有关一般代数的最重要的工作”），论文得以发表。正因为无需具体给出构造，存在性证明要比构造性证明要更为简洁有力，也因此逐渐被广泛接受。即使是一开始拒稿的哥尔丹，最后也承认了希尔伯特的工作，“即使是神学也有其价值”。希尔伯特之后也因为公理化的工作以及其他数学成就，跻身当时数学界的顶尖。另一位为数学界作出巨大贡献的德国数学家康托尔，他的命运却大不相同。在研究傅里叶分析时，康托尔领会到无穷之后仍有无穷的无穷。他从最基础的集合论开始，建立了一个全新体系，描述了超越无穷的无穷，也就是超穷[songshuhui.net/archives/90745]。集合论中的很多基础结果，就出自他的手笔。但他的研究甫一发表，就遭到许多顶尖数学家的攻讦。庞加莱说他的想法就像“严重的疾病”，正在感染数学这一学科。当时执德国数学界牛耳的克罗内克，公开反对康托尔关于超穷的理论，甚至到达了人身攻击的地步。他称康托尔为“科学骗子”、“背叛者”、“腐蚀了青年”，近乎偏执地指责着康托尔和他的理论。但数学毕竟是数学。经过曲折发展之后，集合论成为了现代数学的基础，成了数学系学生的必修课。正是希尔伯特作出了这样的断言：身处康托尔跟我们一道展开的天堂内，我们屏息于惊叹之中，知道无人能将我们由此驱逐。可惜，康托尔本人的命运却远没有那么光明。也许是因为得不到理解，也许是因为这些无休止的攻击，康托尔患上了抑郁症，一直没有痊愈。他的晚年恰逢第一次世界大战，贫困加剧了战争带来的饥谨。心脏病给他的最后一击，也许是种解脱。有好几个人把望月新一比作上一代的数学家格罗滕迪克。格罗滕迪克的遭遇处于康托尔和希尔伯特之间。他的数学风格高度抽象，但却能得出实际的结果。引用我之前写的：他谈论的数学实在过于抽象，难以理解。但这就是格罗滕迪克做数学的风格：尽可能从数学对象中将不必要的细节抽象出来，抽象得一般的数学家都会以为剩下的只有“虚空”，然而他仍然能从“虚空”中抓住某些东西，从而建立他的理论，完成他的证明。用格罗滕迪克本人的说法，如果把数学问题比作坚果，大部分数学家做的就是用锤子和凿子把坚果凿开，而他的做法则是将坚果浸在水里，慢慢软化它的外壳，又或者让它经受风吹日晒，然后等待合适的时机，坚果自然就会裂开。对于大部分数学家来说，这个过程太漫长，也许只有拥有深刻洞察力的格罗滕迪克，才能在能接受的时间内，用这种方法解决问题。这也是他的数学难以被理解的原因之一：他几乎不考虑具体的示例，都是从尽可能抽象的角度出发，思考支配某个数学问题背后的宏大数学结构。有时候这也会闹出笑话。有一次讨论数学的时候，有人向格罗滕迪克提议考虑一个特定的质数作为例子。“你的意思是找一个真实的数字？”格罗滕迪克有点疑惑。对方点了点头。他回答：“好吧，我们考虑57这个质数。”57当然不是质数，但格罗滕迪克大概没有注意这一点，他从来不考虑具体的例子，一切从抽象出发。格罗滕迪克的这种风格，让他年纪轻轻就全套改写了代数几何所用的数学语言，给这个领域带来了全新的抽象思维方式，让代数几何成为数学中可能是最抽象最深奥但也最有力量的分支。他编写的EGA和SGA是代数几何的入门宝典，他的定理和想法，尤其是标准猜想，仍然留在众多代数几何学者的心头。当然，新理论新证明被彻底摧毁的例子也比比皆是。在2004年，美国数学家路易·德·布朗奇（Louis de Branges）在自己的个人页面上贴出了一篇124页的论文，声称利用自己发展的基于希尔伯特空间的一套体系，证明了数论中最引人注目的黎曼猜想，跟望月新一的情况相当相似。因为德·布朗奇此前曾证明另一个著名猜想——比伯巴赫猜想（Bieberbach conjecture），所以也有人关注他的证明。但直至现在，论文经过多次修改，似乎仍然站不住脚。目前数学界普遍认为他并未能证明黎曼猜想。不停有人提出新的想法，即使一开始不被接受，历经时间洗练，终将得到应有的评价，而数学也就此进步。虽然提出新想法的人，他们各自有需要承受的命运，不以他们的贡献为转移。这就是数学史。而望月新一的理论，就是在当下展开的历史。他的理论是对是错，只能拭目以待。抽象的极致望月新一给他的体系起名为“宇宙際Teichmüller理論”（inter-universal Teichmüller theory），简称IUTT，有时候也省略对应“理论”的T，写成IUT。他并没有特意发明这个略显中二气息的名字，这锅要由他的先驱格罗滕迪克（Grothendieck）来背，是他发明了Grothendieck universe这个数学对象。而universe这个术语可能还要追溯到更久远的集合论先驱，因为它对应着集合论中“所有集合组成的一堆东西”这个概念。是的，所有集合不构成一个集合，只能说成“一堆东西”，或者用“类”这个术语。幸好，中文对universe的标准翻译“全类”没有那么中二。用上这个翻译的话，中文可以写成“跨全类Teichmüller理论”。但为了原汁原味起见，我们后面还是用“宇宙”这个术语。因为，另一个universe的数学，总有些不一样。有多不一样呢？这里实在没有办法深入探讨望月的IUT理论，不过正好有一个合适的例子，是望月新一在此之前研究的一个最最基础的数学结构：p进整数。它并不在另一个universe，但你阅读它的感受，大概和数学家读IUT的感受类似吧。p进整数是什么？对于数学家来说最快捷易懂的定义，就是：对于素数p，$(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})_{n>0}$的投影极限（懵了吗？我第一次看到这个定义时，一下子就读懂了——但是我读望月的论文，大概就是你现在的感受。）p进整数有这样的一些特征（以p=7为例）：......30211045064302335342 是一个7进整数。你没看错，省略号在前面，而且它不是无穷。可以对p进整数进行“正常”的加减乘除。1/5当然不是普通的整数，但它是一个7进整数：1/5 = ......54125412541254120的绝对值是0，1的绝对值是1，但2、3、4……的绝对值也是1，直到7的绝对值突然变成1/7. 然后，8、9、10……的绝对值是1，14的绝对值是1/7，依此类推，直到49的绝对值变成1/49……如果根据这个绝对值定义将所有p进整数看成一个空间，它里面每个三角形都是锐角等腰三角形，而如果取一个球体的话，球体中每一个点都是球心。图片来源：维基百科，作者Melchoir图片来源：维基百科，作者Melchoir一个自然的疑问是：这都是什么玩意儿？？？有这种疑问很正常，因为这属于抽象而反直觉的数学。对于数学工作者来说，这种绝对值的定义，恰好呼应了p进整数本身的定义。如果明白一开始那个一句话定义，那么现在这个“绝对值”的概念，就会显得顺理成章，甚至非此不可。这就是对数学概念的理解程度所导致的偏差。初看似乎不明就里的数学概念，一旦掌握了正确的思维方法，就会变得浅显易懂。但这又谈何容易！数学是如此抽象，必须经过多年的学习，慢慢熟习它的思考方式，才能理解它的内容。p进整数，以及它的推广p进数，不仅在望月新一以往的工作出现，事实上，它早已是数论中常用的工具。当年怀尔斯对费马大定理的证明也用到了p进数。望月新一此前发展的p进Teichmüller理论，则完全基于p进数，但p进数本身在这个理论中的地位，相当于高考数学中的自然数，只是最基础的砖石。而望月新一的新理论，“宇宙際Teichmüller理論”，还要高出一个层次。他觉察到，用p进数构建的理论仍然不足以抓住他想要研究的那个数论结构，于是他另辟蹊径，找到一个已经证明必定能抓住那个结构的数学对象，然后构建起新的数学理论，研究这个对象的性质，从而导出他寻找的性质。这大体就是宇宙际Teichmüller理论的发展动机之一。要构建这样的理论，需要同时用到远阿贝尔几何与表示论的工具，然而这两者格格不入，难以调和。为了折中，望月新一需要将理论的基底，也就是最基本的运算，拆成加法和乘法两部分，将它们消解为更复杂更抽象的结构，通过这些结构的互动和变形得到想要的性质，最后证明这些结构能够重新“復原”成某种加法和乘法。在互动和变形的过程中，他要在不同的宇宙（universe、全类）间游走，才能得到足够广泛而一般的结论。加法和乘法结合起来会碰到的障碍，对于它们消解而成的结构却不成问题，当然前提是通过恰当的变形，就像不同坐标系之间的变换。这就是为什么望月新一要将他的理论称为“宇宙際Teichmüller理論”。顺带一提，消解后的加法和乘法面目全非，不像通常的加法和乘法那样基于同一套“数字”，而是形同陌路，望月新一的术语alien ring structure就由此而来。这里的alien，并不是什么“外星”的意思，而是取拉丁语alienus的原意“属于他人、非自身、外来、奇怪”之义。很多地方写的什么“外星算术全纯结构”（alien arithmetic holomorphic structure），都曲解了望月新一的本义。看不懂？很正常。我自己的主要的研究领域是组合数学，虽然跟通常的Teichmüller理论有那么一丁点关系，但对于一般的代数几何我也没有正式学习过，所以只能在这里描绘它大致的图景。但这就是现代的数学。它研究的内容如此广泛如此深入，一个分支上的数学家已经难以理解另一个分支的前沿，更何况是代数几何这一最抽象的领域中耕耘的人特别少的分支远阿贝尔几何，它的最前沿的推广呢？更何况这个理论是如此抽象，处理的又是如此根本的数学结果。可以说，拥有足够的知识储备，有充足时间能够理解并审查望月新一理论的数学家，即使不能说屈指可数，也很可能不超过100人，这还是相当乐观的估计。望月新一本人这样说过，他的理论在数学界的处境，就像数学本身在整个社会中的处境：过于抽象，以至于人们不愿意去钻研和理解。理论的渗流虽然难以理解，但新理论的确有其吸引力。望月新一本人在代数几何这个领域早已名声在外，他在1996年就证明了格罗滕迪克提出的一个有关远阿贝尔几何的猜想，还因此被邀请在1998年的国际数学家大会上作45分钟演讲。既然他之前的工作证明了他有如此能力，那么他的新工作当然也值得认真对待。何况，望月新一宣称他的新理论能够用于证明数论中悬而未决的ABC猜想，这就更让人期待了。有些数学家被新理论所吸引，花了大量时间研读，自觉理解了箇中真谛，成为了给新理论摇旗呐喊的人。有些数学家同样被新理论说吸引，花了大量时间研读，但感觉还是解释不清，难以理解。有些数学家对新理论有兴趣，但没有时间研读，只能交给别的专家。有些数学家不懂这个分支，只能围观。望月新一的“宇宙際Teichmüller理論”（IUTT），就这样将数学界分成了两大阵营：觉得自己读懂的，还有觉得自己没懂的。围观群众不在此列。觉得自己读懂了的数学家，他们在积极地宣传这个理论，想让更多的人理解它。伊万·费先科就是其中一员。近年来，在世界各地召开了数次讨论IUTT的研讨会，费先科有不少牵线搭桥之功。他和其他数学家也撰写了不少介绍IUTT的文章和综述，试图用不同的视角来讲述这个理论。觉得自己没有读懂的数学家，有的仍在努力研读，有的尝试用自己知道的数学方法来从侧面验证IUTT的正确性；也有的已经放弃，转而对IUTT的正确性产生了怀疑。每个新理论都会经历这个阶段，这个等待验证的阶段。只有经过这个阶段，等到大部分专家接受它的正确性，新理论才算是正式确立，数学也得以进步。只是，对于IUTT来说，这个阶段似乎太长了一点。同样是代数几何中的新突破，另一位数学家彼得·索尔策（Peter Scholze）在2011年前后提出的perfectoid空间，很快就被数学界所承认，证据就是他从2012开始获得的一系列殊荣。要知道，他提出这个理论的时候还只是博士生，但在2012年答辩之后，没过多久就被母校波恩大学重新聘请为教授，以24岁的身份创下了德国史上最年轻教授的记录。熟悉德国教育系统的人，会更感叹他的成就，因为在德国，教授的地位很高，聘请的条件也因此非常苛刻。这更凸显了他的成就。那么，索尔策和望月新一，两人的理论为何遭遇迥异？索尔策的理论处于代数几何研究的主流，能理解的专家人数比较多，而望月新一的理论则不算主流，专家也比较少。有时候人多人少，也能决定理论被接纳的速度。索尔策的理论包含的新意，很快就能被读懂并应用到新的问题上；望月新一的IUTT则是全新的系统，略有格罗滕迪克的遗风，看起来波澜不惊，但结论出人意料，需要吃透整个系统，才能判断最后的证明是对是错，但过于浑然一体，也让别人难以进行旁敲侧击式的验证，偏偏这种验证也正是考验新理论最快的方法。对于望月新一来说，这些都是非战之罪。虽有忮心，不怨飘瓦。但望月新一自身也并非毫无责任。对于现代数学家的标准而言，他的个性也稍有乖张之处。即使他曾经在美国生活过，在回到日本之后，他就很不愿意到海外与其他数学家交流。他并非不乐意交流，证据就是在2016年的一次IUTT研讨会上，他曾通过视频通话接入会场，为与会数学家解答一些疑难问题。而他窝在京都长时间自己捣鼓这一套理论，也不是数学界通常的做法。一般来说，数学家至少会跟同一个实验室的同事讨论相关问题，在讨论之中，可以获得更多灵感，也能借此检验理论是否正确，或者投石问路，看看是此路不通还是大有可为。上一个口风像望月新一那么严的，还是证明了费马大定理的怀尔斯。当然，数学家经常开学术会议互相交流，少不免走漏风声。我当然不知道望月新一有没有跟同事讨论，很可能有但是同事的保密工作做得很好，也许没有但这个可能性很低，又或者关注远阿贝尔几何的人实在少。但结果就是，当这个证明出现之时，人们毫无心理准备。另一个可商榷之处，就是他在公开他的理论时，没有选择数学界一般会使用的预印本网站arXiv，而是直接放到了自己的个人页面上。当然，论文放到什么地方，这是他的自由，但也使数学界不能及时了解他的理论。不过话又说回来，这项工作引起的轰动，也很快让他的论文为数学界所知，所以其实问题也不大。可以说，他的个性或者说偏好，在客观上的确阻碍了他与同行之间的交流。结果就是，现在即使接受IUTT的专家越来越多（对于一个相对冷门的领域来说，十几个专家不算少数），但这些专家相当一部分是望月新一在日本的同事，还有过从稍密的同行。当然，也有相对独立的学者认为他们同样搞懂了望月新一的证明，但人毕竟也会犯错，很多旁观的数学家认为，现在认同的人数还不够多。数学这门学科虽然有无可辩驳的逻辑作为守门人，但它仍然是一种人类活动。新理论无论是对是错，总要有足够的人承认，才得以确立。确立后的理论也不一定正确，确立后被推翻的证明虽不多，但也有。只有当大部分专家都理解了这个理论，再也挑不出毛病，从而站到了“自认为懂”的阵营里，甚至能由此生发出新的结果，理论才算真正确立。没有相应专业知识，或者不肯花时间的人，都只是局外人，没有权利对理论的正误说三道四。但事情毕竟在进展。据说，目前IUTT的四篇论文中，前两篇构建的体系已经被许多专家认为成立，即使是那些觉得没有读懂整个证明的专家。目前争议的焦点之一，在于第三篇论文的推论3.12，也就是Szpiro猜想的证明关键。Szpiro猜想能推出ABC猜想，也难怪大家特别关注这个推论。据说，在之前的版本，推论3.12的证明只有几行，语焉不详，但我看到的几天前（2017-12-14）的新版本中，望月新一加上了好几页的注解。我只能希望这些注解能消除某些专家的疑惑。在伊万·费先科（Ivan Fesenko）的“科普”文章里提到，在关于望月新一证明的讨论中，有一个词经常被提到，就是“復原”。在望月新一构建的崭新数学体系中，他将同时附着在“数字”之上的加法结构和乘法结构拆开，将两者各自变形，然后重新“復原”。这种做法，先从根本上消解，之后再““復原”，即使对于久经抽象推理沙场的数学家而言也相当奇怪。而望月新一的体系，正系于这种“復原”的可行性。如果他的体系是正确的，如果他的“復原”是成功的，这将带来数学中代数几何分支的变革。比如说，ABC猜想的证明。比如说，最终理解加法和乘法之间的关系。但现在，没多少数学家能读懂他的证明。无论证明是对是错，也许数学界，至少是代数几何，恐怕难以复原为以前的面貌。他的体系，他的证明，已经将数学家拆开成不同的阵营，阵营内部不断发酵变化，引出了新的分歧。即使最后尘埃落定，得到的恐怕也只是望月新一式的“復原”。但这就是数学前进的必经之路。后记我一直觉得，写这篇文章的不应该是我。我做的是组合数学，代数几何只是外行，虽咨询了比我更懂的同事，但还是不敢说对它有足够的理解。但了解更多的人在哪里？我理解他们。这毕竟是一个高度抽象的学科，要向研究方向不同的同事解释尚且很有难度，更何况向一般人解释。这也许也是望月新一不喜欢媒体的理由。媒体肯定不懂他的理论，只知道这可能是一个重大突破，可以搞个大新闻。但这些媒体何尝愿意了解他的理论？写成报道，焦点多半在个人的私生活上，要么就是各种八卦。看的人是很多，但看完之后，给人们又留下了什么教益？但这个事情毕竟不能不做。正如他的新理论也需要知音来帮助宣讲，数学本身也要靠科普才能传播，人们才会认识到数学的重要性，而不是问出“微积分有什么用，又不能买菜”这种问题。怀有恶意的媒体固然会断章取义，但让更多人更了解数学的美妙也是件好事，值得再三权衡。这篇文章，由于本人知识所限，难免有许多疏漏，权当抛砖引玉。希望与远阿贝尔几何关系更密切的专业人士，能写出更深入准确的文章，让大家分享数学最前沿的这一大事。参考文献： Ivan Fesenko, Fukugen, Inference Review, http://inference-review.com/article/fukugen Mochizuki Shinichi, Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf Mochizuki Shinichi, The Mathematics of Mutually Alien Copies: From Gaussian Integrals to Inter-universal Teichmüller Theory, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Alien%20Copies,%20Gaussians,%20and%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf

以下短文出自2022年2月27号，为我发在朋友圈的一段感想，如今分享出来lyh前辈算是我高中时期数学的启蒙人之一，如今几年过去，回看过去，甚是感慨学数学早点把握方向很重要，直到你做研究那天，你会发现很多你曾学过的东西都派不上用场。当你有扎实的基本功以后，直接倒着学，这样效率或许比按部就班地按顺序学要高得多。看不懂文献怎么办，继续看，这样你才能发现自己需要学什么。然后再倒回去补知识，这种方法才是适合于做研究的。我对竞赛不感兴趣，学习数学的方向完全遵从内心的选择，顺利地从微分几何和代数几何中选择了代数几何。然后发现代数几何的浩瀚，似乎能囊括几乎所有重要的数学领域，至少纯数学是如此。我并不认可数学考得高分就是学得好，曾经高中被数学老师冷落的经历还历历在目。我看的第一本英文书就是泛函分析，我没系统学过点集拓扑。这些都不能说明什么。我15岁开始看EGA，这是我当时读过的最难的书。我被Grothendieck的风格所深深震撼，也就那时候，我开始学习法语就是为了读原版的EGA。我不认可大神级天赋就真的能16岁无障碍读EGA，万丈高楼平地起，天才也不例外，况且这个世界上可能都没有所谓的天才。我觉得真正的大神级天赋，就是Peter Scholze这种学数学、做数学仅仅是为了理解数学的人，他做数学不是为了成为某个领域的leading figure，而是for his own sake。这多自在、多自由，就如同逍遥游一样，也就只有这样才有可能做出永垂不朽的工作吧。

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导语：一位日本数学家声称已经解决了数学领域最重要的问题之一。但是，几乎无人能懂他的证明，无从判断对错。2012年8月30日的早晨，望月新一悄悄地在自己的网站上发布了4篇论文，总计长达500多页，密密麻麻地布满了各种符号。它们是作者孤独工作了十多年后的成果，可能会在学术界引起爆炸性的影响。在文中，望月新一声称解决了abc猜想——一个27年来在数论领域一直悬而未决的问题，令所有其他数学家都束手无策。如果望月新一的证明是正确的，它将是本世纪最令人震撼的数学成果之一，或将彻底改变整数方程的研究。David Parkins不过，望月新一本人并未对自己的证明大做文章。他任职于日本京都大学数理解析研究所（RIMS），是一位令人尊敬的数学家。他没有向全世界的同行宣布自己的研究成果，只是将论文发布在网上，等待世界去发现。第一个注意到他的论文的可能是玉川安骑男（Akio Tamagawa）——望月新一在RIMS的同事。和其他研究人员一样，玉川安骑男知道望月新一多年来一直在潜心钻研abc猜想，并且已近成功。当天，玉川安骑男通过电子邮件把这个消息发给了他的合作者之一、诺丁汉大学数论理论家Ivan Fesenko。Fesenko立即将论文下载下来，开始阅读。但是很快他就“如坠云雾”之中。他说：“简直不可能理解那些论文。”Fesenko给望月新一所在算术几何领域的几位顶级专家发了邮件，有关该证明的消息迅速传开。没过几天，数学博客和在线论坛开始热烈地讨论起来。但是对于许多研究人员来说，最初的兴奋很快变成怀疑。所有人，甚至那些和望月新一专业领域最为接近的人，也像Fesenko一样感到困惑不已。为了完成证明，望月新一开创了一个新的学科分支——一个即使按照纯数学标准来看也极其抽象的分支。在论文公开几天后，威斯康星大学麦迪逊分校的数论理论家Jordan Ellenberg在自己的博客上写道，“你会感觉自己好像是在看一篇来自未来或外太空的论文。”3年过去了，望月新一的证明依然是一个数学谜团，既没有被驳斥，也没有被广泛接受。据望月新一估计，一名数学专业研究生大约需要十年时间才能理解他的研究，Fesenko则认为即使是一名算术几何专家，可能也需要500个小时才能弄懂。到目前为止，只有4名数学家表示他们能够读懂全部证明。望月新一本人也为他的证明平添了几分神秘色彩。虽然他可以说一口流利的英语，但是截至目前他只在日本用日语谈论了自己的研究，而且拒绝了到其它地方发表演讲的邀请。他不接受记者采访；多个采访请求都没有得到回应。他会回复其他数学家的电子邮件，也不拒同事来访，但是他仅有的公开信息就是他个人网站上零零碎碎的一些内容。2014年12月，他写道，若要理解他的研究，“研究人员需要摒弃他们维持多年的旧有的思维模式”。在比利时安特卫普大学的数学家Lieven Le Bruyn看来，望月新一的这种态度显得目中无人。今年早些时候，他在博客上写道，“是不是只有我一人觉得望月新一是在藐视整个数学界”。现在，数学界正在尝试解开这个问题。2015年12月，亚洲以外首个有关望月新一证明的研讨会在英国牛津举行。望月新一不会亲身到场，但是据说他愿意通过Skype回答研讨会上提出的问题。组织者希望这次讨论能够激发更多数学家花时间去熟悉望月新一的观点——希望改变对望月新一的态度。望月新一在其最新的验证报告中写道，他的理论之于算术几何“恰似纯数学之于人类社会”。他在向数学界传达自己的抽象研究时遇到困难，而数学家群体在向数学界以外的广大群体传达其研究成果时也常常面临挑战，二者何其相似！核心所在abc猜想涉及a + b = c型的数值表达式。它存在几个略有不同的版本，关系到能除尽a、b和c的质数。每一个整数都能以独一无二的形式表示为一连串质数的乘积；例如15 = 3 × 5，或84 = 2 × 2 × 3 × 7。原则上，a和b的质因数与二者之和c的质因数没有关联。但是，abc猜想将它们联系了起来。abc猜想的假设大致而言指，如果大量小质数能除尽a和b，那么只有少量大质数能除尽c。1985年，法国数学家Joseph Oesterlé在德国的一次演讲中，无意间谈到一类特别的方程式，首次提出来这种可能性。当时的观众席中坐着目前在瑞士巴塞尔大学任职的数论理论家David Masser，他意识到这个猜想的潜在重要意义，之后以一般形式将其公之于众。现在，这个猜想被归功于他们二人，并且常常被称为Oesterlé–Masser猜想。几年后，哈佛大学的一位数学家Noam Elkies意识到，如果abc猜想是真的，那么将对丢番图方程的研究产生深刻影响。他发现如果abc猜想得到证明，那么将一举解决大量著名的未解丢番图方程。因为，它可以给方程解的大小做出明确限制。例如，abc猜想或许可以表明丢番图方程的所有解都必须小于100。为了找到正解，人们所要做的就是代入0到99之间的每一个数字进行验证。而没有abc猜想的话，就需要代入无限多的数字。Elkies的研究意味着abc猜想可能超越丢番图方程史上最重要的突破：证实美国数学家Louis Mordell在1922年提出一个假设——大部分丢番图方程要么无解，要么只有有限数量的解。1983年，时年28岁的德国数学家Gerd Faltings证明了该猜想，三年后因此获得了数学界人士梦寐以求的菲尔兹奖。但是Faltings说，如果abc猜想被证实，你不仅知道有多少解，“还可以直接将它们全部列出来”。Faltings在证明Mordell猜想后不久，便开始在普林斯顿大学任教，很快他的轨迹就和望月新一的产生了交叉。1969年，望月新一出生于东京，在他小时候一家人就搬到了美国，他在那里长大。他上了新罕布什尔的一所精英高中，早早地就展露出过人的天赋，不到16岁就成为普林斯顿大学数学系的一名本科生。很快，富有创造性的思维令他成为一个传奇，他开始直接攻读博士。认识望月新一的人都说他具有超自然的全神贯注的能力。“从他还是学生的时候起，每天从早到晚都在学习。”牛津大学数学家金明迥说，他在普林斯顿大学认识了望月新一。金明迥记得以前在参加完一场研讨会或专题会后，研究人员和学生一般会一起出去喝几杯，但是望月新一不会去。“他并不是天生内向的人，只是全身心地投入到了数学研究中。”Faltings是望月新一本科毕业论文和博士论文的导师，他看到了望月新一的过人之处。“很明显他天资聪颖。”他说。但是，做Faltings的学生并不是一件容易的事。“Faltings是最令学生生畏的一位老师。”金明迥回忆道。他能敏锐地发现错误，即使是知名的数学家，在和他交谈的时候，也常常会感到无所适从。Faltings的研究对美国东海岸大学里面的许多年轻数学家具有非常大的影响。他的专业领域是代数几何，从20世纪50年代起，因为Alexander Grothendieck——20世纪最伟大的数学家，代数几何转变成一个高度抽象且理论性的领域。“与Grothendieck相比，”金明迥说，“Faltings没有太多耐心去从哲学角度思考数学。”他的数学风格表现为需要“大量的抽象背景知识，但是同时也以解决实际问题为目标。望月新一关于abc猜想的证明正好符合这一点”。心无旁骛博士毕业后，望月新一在哈佛待了两年，然后在1994年他25岁的时候回到了出生地日本，加入RIMS。金明迥说，虽然望月新一在美国生活了多年，但是“他在某些方面并不适应美国文化”。不仅如此，在异国长大可能加重了他作为少年数学天才的孤独感。“我认为他确实受了一些苦。”RIMS不要求它的职员给本科生授课，望月新一在此如鱼得水。“在20年的时间里，他可以不受外界过多干扰，一心一意地开展自己的研究。”Fesenko说。1996年，望月新一因为解决了Grothendieck提出的一个猜想而在国际上声名鹊起；1998年，他受邀在柏林国际数学家大会上发言，名气更胜从前。虽然备受推崇，但是望月新一却逐渐淡出主流视野。他的研究越来越抽象，同行们越来越难理解他的论文。从21世纪的头几年开始，他不再参加国际会议，同事们说他几乎没有再离开过京都。“连续多年不靠别人，一个人专心致志做研究需要投入非同一般的热情。”斯坦福大学数论理论家Brian Conrad说。不过，望月新一实际上还是和数论同行专家们保持着联系，他们知道他的最终目标是abc猜想。他几乎没有竞争对手：大部分数学家都认为这个问题非常棘手，基本都敬而远之。2012年初，关于望月新一快要完成证明的消息传开了。然后就出现了8月的新闻：他把论文发在了网上。9月，Fesenko成为日本之外第一个与望月新一谈论其默默公开的这项研究成果的人。Fesenko本来是要拜访玉川安骑男，顺道也见了望月新一。二人在一个周六见面了，地点在望月新一的办公室。里面很宽敞，书籍论文都摆放得井井有条，从办公室望出去，可以看到附近的大文字山。Fesenko说那是他“一生中见过的最整洁的数学家办公室”。两人在皮沙发上坐下后，Fesenko开始询问有关望月新一研究成果的各种问题，并讨论后续可能发生的情况。Fesenko说他提醒望月新一要以俄罗斯数学家、拓扑学家Grigori Perelman（格里戈里·佩雷尔曼）为戒：2003年，Perelman解决了世纪难题庞加莱猜想，一举成名，但是之后他逐渐退隐，日渐疏远朋友、同事和外界。Fesenko认识Perelman，认为Perelman和望月新一的性格迥然不同。众所周知，Perelman社交能力很差（而且不修边幅），但望月新一在众人眼里却是一个擅长表达且待人友好的人，只不过对工作以外的生活非常保密。正常来说，一项重大证明公开后，数学家会拿来阅读——一般只有几页——而且可以理解其整体论证方法。偶尔会有些证明更长一点、更复杂一点，前沿专家可能需要花上好几年的时间才能对其进行充分评估，判断它是否正确。Perelman关于庞加莱猜想的研究就是这样被接受的。即使是像Grothendieck的那样高度抽象的研究，专家们也能够将其大部分的新观点与自己所熟悉的数学对象联系起来。只有当所有疑惑都已廓清，期刊才会将证明发表出来。但是，几乎每一个研究望月新一证明的人，最后都发现自己一头雾水。有些人感到茫然无措：望月新一在描述他的一些新的理论说明时，使用的语言近乎天书：他甚至将他创造的新领域称为“宇宙际几何”。“一般而言，数学家都是非常谦逊的，不会声称自己所做的是一场关系全宇宙的革命。”巴黎第六大学的Oesterlé说。他在验证望月新一的证明，但是没有取得什么进展。因为望月新一的证明明显脱离了过去已有的东西。望月新一尝试从数学的集合论基础（许多人所熟知的维恩图）入手，彻底革新数学。一直以来，大部分数学家都不愿意花费时间去理解他的研究，因为他们看不到什么明显回报：很难看出望月新一创建的新理论可以用于计算。“我试着看了一些内容，之后放弃了。我看不懂他的研究。”Faltings说。2014年，Fesenko对望月新一的工作进行了详细的研究，并于当年秋天再次去RIMS拜访了望月新一。他说他已经证实了望月新一的证明。（另外三名表示已经证实该证明的数学家也在日本和望月新一一起工作了很长时间。）按照Fesenko的说法，宇宙际几何的核心要义是用全新的眼光看待整数——暂不考虑加法，将乘法结构看成一种可延展可变形的结构。这样一来，标准乘法就只是结构家族中的一个特例，就像圆形是椭圆的一个特例一样。Fesenko说望月新一自比为数学大师Grothendieck——这并不过分。“过去，我们有的是望月新一之前的数学；现在，我们有的是望月新一之后的数学。”Fesenko说。但是到目前为止，寥寥几个能够理解望月新一研究的人却很难向他人解释。“每一个尝试这么做的人我都认识，他们非常睿智，但每次眼见着快要成功了，却都无疾而终。”一位不愿具名的数学家说。他说这种情况让他想起了英国喜剧团巨蟒组（Monty Python）的一个故事，一位作家写出了全世界最好笑的笑话。每一个读过的人都笑得丢了性命，因此无法将笑话讲给别人听。Faltings认为这就是问题所在。“你有好的想法还不够：你还要能够向别人解释清楚。”他说如果望月新一想要他的工作能够被人接受，就应该与人进行更多的沟通。“一个人有权利我行我素。”他说，“如果他不想传播自己的理论，他就没什么义务。但如果他希望被认可，就必须做出妥协。”结局不定对于望月新一而言，或许会很快迎来一些转机，美国克雷数学研究所将在牛津举办一场万众期待的研讨会，预计包括Faltings在内的一众业内重要人物都将出席。金明迥和Fesenko是会议的组织者，他说几天的演讲不足以阐明全部理论。但是，“希望在会议结束后，有相当一部分人能够愿意投入更多精力来研究这个证明”。大部分数学家都预计还需要很多年才能得出确定结论。（望月新一说他已经把论文投给期刊了，大概仍在评审中。）研究人员希望有一天能够有一个人不仅自己懂，还能解释出来让别人懂。问题是，很少有人愿意成为这样的人。展望未来，研究人员认为未来的未解问题可能不再会像这样复杂棘手。Ellenberg指出，在新的数学领域，定理的陈述一般都是简单的，而且证明非常简短。现在的问题是望月新一的证明是否会像Perelman的那样被接受，还是走向另一种结局。一些研究人员以普渡大学著名的数学家Louis de Branges为例，提醒应该保持谨慎态度。2004年，de Branges声称证明了黎曼猜想——许多人视之为数学领域最重要的一个未解问题。但是，其他数学家对此表示怀疑；许多人说de Branges的理论不符合传统，而且写作风格怪异，他们没有兴趣细究；很快该证明便从人们的视线中消失。Ellenberg认为对于望月新一的研究，“不能用一刀切的方式来评价”。即使他关于abc猜想的证明不正确，他的方法和理念仍有可能渗透进数学界，并有可能在其它某些方面发挥作用。“根据我对望月新一的了解，我真的认为他的论文里面极有可能隐藏着某种精彩或重要的数学内容。”Ellenberg说。不过他也补充表示不排除结局走向相反的方向。“我认为如果我们简单地把它遗忘了，那将是一件不幸的事。令人悲哀。”ⓝNature|doi:10.1038/526178a原文发布在2015年10月7日的《自然》新闻专题上原文作者：Davide Castelvecchi本文转自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/43348594 。点击右边标题阅读英文原文：The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof

abc猜想，数学界悬而未决的重要猜想，它的证明过程经过8年的同行评审，终于要在期刊上发表了。论文作者是日本的天才数学家望月新一，他33岁起就在京都大学担任数学教授。这一次望月新一的证明，全篇超过600页，2012年就已发表，但足足经过了8年的同行评审才通过，期间开过多次研讨会——但依然有很多数学家无法理解。据说，这篇论文全球只有十几位数学家深入研究了证明过程。许多数学家根本无法指出证明过程是对是错，因为根本看不懂。4月3日，日本京都大学召开了新闻发布会，宣布望月新一证明了它。包括Nature等在内的权威科学传媒组织，也这一重要进展进行了报道。望月新一没有出席昨天的发布会，他的另外两位同事说，当他知道自己的论文被接收，终于松了一口气。多年来他从未在公众场合露面。但也不是没有争议，因为当初接收论文的期刊——日本的PRIMS，主编正是望月新一本人。如果他的证明是正确的，那么将彻底改变数论。同时也正因为如此，才有了学界长达8年的争论。什么是abc猜想？abc猜想，最初由法国数学家约瑟夫·奥斯特莱和大卫·马瑟，在1985年提出。并且一经提出，abc猜想就成为数论领域的重要猜想之一。只是和哥德巴赫猜想不同的是，向大众说明abc猜想本身，就是一个复杂的过程。大概如下：有三个互质正整数a、b、c，且c=a+b。所谓互质，即它们的最大公约数是1。因此8 + 9 = 17、5 + 16 = 21是符合条件的一组数字，但是6 + 9 = 15不是。接着，我们把abc的质因数都提取出来，比如5、16、21的质因数是5、2、3、7，这些质因数相乘的结果为210，这个数比原来的三个数大得多。又比如5、27、32，它们的质因数是5、3、2，相乘结果为30，就比32小。但第二种情形极为罕见。如果a和b都是小于100的数，我们能找到3044个符合条件的abc组合，其中只有7组满足第二种情形。而abc猜想要证明的，就是符合第二种情形的abc组合，只有有限个。数学家们把abc的质因数乘积记作rad(abc)。用严谨的数学语言来表述就是：对于任何ε>0，只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a + b，使得：c > rad(abc)1+ε费马大定理迎刃而解在人类短期内没法证明的abc猜想的情况下，科学家们想到了一个办法，就是用计算机暴力解决，从小到大依次寻找符合abc猜想第二种情形的组合。由此衍生出了一个分布式计算项目ABC@Home，就是通过全球各地的电脑穷举计算符合abc猜想条件的三元数组。到2014年5月，人们已经验证了2380万个组合。虽然有无限个例子或反例不能解决abc猜想，但是数学家希望借着该计划发现的三元数组的分布模式。之所以花费大量计算资源去验证，是因为abc猜想在数学界有着重要意义。和黎曼猜想一样，很多数学领域后续的一些假设都依赖于前者。如果前者得到证明，后者就能轻易得出。abc猜想的形式是a+b=c，著名的费马大定理形式是xn+yn=zn，二者非常相似，实际上二者也是强关联。如果abc猜想为真，那么费马大定理也可以轻松证明。当年费马一句“空白太小写不下证明”，让这一问题从1637年一直拖到1995年才得以解决。而通过abc猜想来证明费马大定理的方法，真的能让空白处就能写下证明过程。所以望月新一这一次，真的做到了吗？证明过程极具争议望月新一发表了4篇论文来证明这一猜想，他把自己的研究成果叫做“宇宙际Teichmuller理论”。按照望月新一的说法，该理论是用于椭圆曲线数字场的Teichmuller理论的算术版本，里面包含了像霍奇剧院（Hodge theaters）这样奇怪的名字。望月新一的理论并未得到学界广泛认同，600多页的证明被来自德国波恩大学的两位德高望重的数学家质疑。2018年菲尔兹奖得主、马普所数学研究所所长Peter Scholze说：“我认为abc猜想仍未解决，任何人都有机会证明这一点。”Scholze和他的同事Jakob Stix还曾发表一篇报告，指出在望月新一第三篇论文中“推论3.12”证明过程从根本上来说是有缺陷的。而该推论对abc猜想的证明至关重要。和其他部分引理的证明不同，3.12的证明尤其长，总共有9页。Scholze认为这9页证明达到了根本无法遵循逻辑的地步。Scholze在2018年到京都大学进行了为期一周的访问，与望月新一探讨了这个问题，但双方谁也说服不了谁。Scholze说：“我认为，除非望月新一进行一些非常实质性的修改，并更好地解释这一关键步骤，否则不应该将其视为证明。”“我真的没有看到一个使我们更接近abc猜想证明的关键思想”，Scholze还补充道。望月新一的论文也引起了陶哲轩的关注，在当年论文发表的第一时间，陶哲轩就在个人博客中谈到的自己看法，并给出了另一种启发式证明方法。望月新一研究领域并不是陶哲轩的擅长，所以他之后一直回避对此评论。这篇论文被期刊接收，并不是abc猜想的终点，也无法让数学家站到望月新一这一边，新的争论还会继续下去。关于望月新一最后，简单介绍一下这位日本天才数学家。望月新一，1969年出生于日本东京都，5岁随父母前往纽约，16岁就进入普林斯顿大学，3年读完本科，23岁获得博士学位，33岁成为京都大学教授。他现在是京都大学数理解析研究所教授。研究数论，包括算术几何，霍奇理论和远阿贝尔几何。有意思的是，还有人曾猜测，望月新一就是比特币发明人“中本聪”。不过这种猜测的疑点很多，因为比特币用到的密码学不是望月新一的研究方向，而且他作为一个纯粹的数学家，对现实世界的问题也不太关心。最后的最后，如果你对望月新一这一abc猜想证明有其他看法，也欢迎告诉我们。参考资料： https://www.nature.com/articles/d41586-020-00998-2 https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/ https://futurism.com/the-byte/mathematicians-shocked-paper-published 本文转自微信公众号量子位

原本我以为微分几何跟代数几何仅仅是数学两个有关联的分支，结果是我之前肤浅了。随着对代数几何深入的学习了解，我发现代数几何跟微分几何也有很深的联系。因此我完全可以说微分流形的理论是深入学习代数几何的necessity，或许你懂抽象代数、交换代数，甚至同调代数，但是若你不懂一些manifold的理论，你完全没有机会去学习étale cohomology、Hodge theory等代数几何更深层次的理论。当然想要学习代数几何最高深、最先进的部分，仅仅懂abstract algebra、homological algebra、manifold是完全不够的。以我自己为例，我的方向是算术几何，这意味着你还需要懂elliptic curve、modular forms、$\ell$-adic representation、algebraic topology等更深层次的知识。还没完，你觉得你所学的东西就真的在研究的过程中用得上吗？在看书的过程中，你还得不停地看文献，就像定制一台机器一样定制自己所需要学习的知识，这样才能保证自己学到有用的东西，否则就是浪费时间，人的脑容量是有限的，用不上的东西时间长了就会忘记。很多人想做数学研究，结果却把大量的时间浪费在无谓的学习上，其实我更加提倡边做边学的做法，先找到个问题，然后尝试去做它，在做的过程中不断学习自己所需要的知识，这样效率是不是高很多呢。但说这么多都没用，很多人本身没有这么强烈的motivation，动机是前提，连最基本的动机都没有，谈再多的方法都没用。————————————————————本文原发布于2020年10月14日

在理论物理学的前沿，许多最流行的想法都有一个共同点：它们都从一个数学框架开始，这个框架试图解释比我们目前流行的理论更多的东西。我们目前的广义相对论和量子场论框架在它们所做的事情上很出色，但它们并不是万能的。它们从根本上是不相容的，不能充分解释暗物质、暗能量，也不能充分解释为什么我们的宇宙充满了物质而不是反物质，以及其他谜题。数学确实使我们能够定量地描述宇宙，如果应用得当，它是一种非常有用的工具。但宇宙是一个物理实体，而不是数学实体，两者之间有很大区别。这就是为什么单靠数学，我们永远不足以得出万物的基本理论的原因。16 世纪最大的谜团之一是行星如何以逆行的方式运动。这可以通过托勒密的地心模型（左）或哥白尼的日心模型（右）来解释。然而，要获得任意精度的细节需要我们在理解观察到的现象背后的规则方面取得理论进展，这导致了开普勒定律和牛顿的万有引力理论。大约 400 年前，一场关于宇宙本质的争论正在展开。几千年来，天文学家一直使用地心模型准确描述行星的轨道，在这个模型中，地球是静止的，其他所有物体都围绕着它旋转。借助几何数学和精确的天文观测——包括圆、等距圆、均轮和本轮等工具，天体轨道的精确数学描述与我们看到的景象相符。然而，这种匹配并不完美，改进的尝试要么导致了更多的本轮，要么导致了 16 世纪哥白尼的日心说。通过将太阳置于中心，逆行运动的解释变得更简单，但与数据的拟合度更差。当约翰尼斯·开普勒出现时，他有了一个绝妙的想法，试图解决所有问题。开普勒最初的太阳系模型，即由 5 个柏拉图立体组成，它们定义了 6 个球体的相对半径，行星围绕这些球体的圆周运行。这个模型虽然很美，但它无法像椭圆那样很好地描述太阳系，甚至无法像托勒密的模型那样很好地描述太阳系。他注意到，如果算上地球（不包括月球），行星一共有六颗。他还注意到，从数学上讲，只有五种柏拉图立体：五种数学对象，它们的面都是等边多边形。通过在每个立体的内部和外部画一个球体，他可以将它们“嵌套”，使其与行星轨道完美契合。这是一个绝妙而美丽的数学模型，可以说是构建我们今天称之为“优雅宇宙”的首次尝试。但从观测上看，它失败了。它甚至不如古老的托勒密模型，包括本轮和均轮。这是一个绝妙的想法，也是第一次尝试仅从纯数学的角度来论证宇宙应该是什么样子。但它就是行不通。而接下来发生的一次天才之举成就了开普勒的传奇。开普勒第二定律指出，无论其他参数如何，行星以太阳为中心，在相等的时间内扫过相等的面积。在固定的时间段内，扫过相同（蓝色）的面积。绿色箭头表示速度。指向太阳的紫色箭头表示加速度。行星绕太阳以椭圆轨道运行（开普勒第一定律），在相等的时间内扫过相等的面积（开普勒第二定律），周期与其半长轴的 3/2 次方成正比（开普勒第三定律）。这些定律同样适用于任何引力太阳系。他抛弃了那个与观测结果不一致的漂亮、优雅、引人注目的模型。相反，他深入研究数据，寻找哪些类型的轨道与行星的实际运动相匹配，并得出了一系列科学（而非数学）结论。1. 行星并不围绕位于中心的太阳做圆形运动，而是以太阳为焦点，在椭圆轨道上运行，每个行星的椭圆轨道都有不同的参数描述。2. 行星并不是以恒定的速度移动，而是以随着行星与太阳的距离而变化的速度移动，这样行星在相同的时间内扫过相同的面积。3. 最后，行星的轨道周期与每个行星椭圆的长轴（主轴）成正比，并以特定的幂为单位（确定为 3/2）。动画显示了四颗超级木星行星在恒星周围轨道上的直接图像，恒星的光线被日冕仪遮挡，被称为 HR 8799。这里显示的四颗系外行星是最容易直接成像的行星之一，因为它们体积大、亮度高，而且与母星的距离很大。这些行星绕恒星运行遵循的开普勒定律与我们太阳系中的行星相同。这是科学史上的革命性时刻。数学不是支配自然的物理定律的根源；它是一种描述自然物理定律如何表现的工具。这一重大进步是科学需要以可观察和可测量为基础，任何理论都需要面对这些概念。没有它，进步就不可能实现。这个想法在历史上一次又一次地出现，因为新的数学发明和发现赋予了我们新的工具来尝试描述物理系统。但每次，都不仅仅是新的数学告诉我们宇宙是如何运作的。相反，新的观察告诉我们，需要一些超出我们目前理解的物理学的东西，而纯数学本身不足以让我们实现这一目标。我们经常将空间想象成一个三维网格，尽管当我们考虑时空概念时，这是一种依赖于框架的过度简化。实际上，时空因物质和能量的存在而弯曲，距离不是固定的，而是可以随着宇宙的膨胀或收缩而变化。在爱因斯坦之前，空间和时间被认为是固定的，对每个人来说都是绝对的；今天我们知道这是不可能的。到 20 世纪初，牛顿力学显然陷入了困境。它无法解释物体如何以接近光速的速度运动，这导致了爱因斯坦狭义相对论的出现。牛顿的万有引力理论也陷入了同样的困境，因为它无法解释水星绕太阳的运动。时空等概念才刚刚形成，但非欧几里得几何（空间本身可以是弯曲的，而不是像 3D 网格一样平坦）的概念已经在数学家中流传了几十年。不幸的是，开发一个描述时空（和引力）的数学框架需要的不仅仅是纯数学，还需要以特定的、经过调整的方式应用数学，以便与对宇宙的观察相一致。这就是为什么我们都知道“阿尔伯特·爱因斯坦”这个名字，但很少有人知道“大卫·希尔伯特”这个名字。放置质量块后，原本是“直线”的线条将不再是空的三维网格，而是弯曲了一定量。地球引力作用导致的空间曲率是重力势能的一种可视化形式，对于像我们这个星球这样巨大而紧凑的系统来说，重力势能可能是巨大的。两人都提出了将时空曲率与引力、物质和能量的存在联系起来的理论。他们都有相似的数学形式；如今，广义相对论中的一个重要方程被称为爱因斯坦-希尔伯特作用。但希尔伯特提出了自己的、独立于爱因斯坦的引力理论，他的抱负比爱因斯坦更大，他的理论既适用于物质和电磁学，也适用于引力。这显然不符合自然规律。希尔伯特构建了一种数学理论，他认为这种理论应该适用于自然，但他始终无法得出预测引力定量效应的成功方程。爱因斯坦做到了，这就是为什么场方程被称为爱因斯坦场方程，而没有提到希尔伯特。没有与现实的对抗，我们就没有物理学。电子既具有波的特性，又具有粒子的特性，因此可以像光一样用于构建图像或探测粒子大小。在这里，您可以看到实验结果，实验中电子一次一个地通过双缝发射。一旦发射了足够多的电子，就可以清楚地看到干涉图样。仅仅几年后，这种几乎相同的情况在量子物理学中再次出现。你不能简单地将电子发射到双缝中，然后根据所有初始条件知道它会在哪里结束。需要一种新的数学——一种植根于波力学和一组概率结果的数学。今天，我们使用向量空间和算子的数学，物理学生听到一个可能听起来很熟悉的术语：希尔伯特空间。同一位数学家大卫·希尔伯特 (David Hilbert) 发现了一组数学向量空间，这对量子物理学来说大有裨益。只是，再一次，它的预测在面对物理现实时不太合理。为此，需要对数学进行一些调整，创建一些人称之为操纵的希尔伯特空间或物理希尔伯特空间。（其中希尔伯特空间的“内积”受到物理限制，但并非出于任何数学动机。）数学规则需要在某些特定限制下应用，否则我们预测的物理宇宙的结果将永远无法与现实相符合。所有已知基本粒子的弱同位旋 T3、弱超电荷 Y_W 和色荷模式，按弱混合角旋转，显示电荷 Q，大致沿垂直方向。中性希格斯场（灰色方块）打破了电弱对称性，并与其他粒子相互作用，赋予它们质量。该图显示了粒子的结构，但根植于数学和物理学。如今，在理论物理学中，利用数学作为更基本的现实理论的潜在途径已经变得非常流行。多年来，人们尝试了许多基于数学的方法：· 施加额外的对称性，· 添加额外的维度，· 在广义相对论中添加新领域，· 在量子理论中添加新领域，· 使用更大的群（来自数学群论）来扩展标准模型。这些数学探索很有趣，并且可能与物理学相关：它们可能包含有关宇宙可能蕴藏的超出目前所知的秘密的线索。但仅凭数学无法告诉我们宇宙是如何运作的。如果不将其预测与物理宇宙本身进行对比，我们将无法获得明确的答案。要将单位八元数的乘法可视化，需要从更高维度思考（左图）。图中还显示了任意两个单位八元数的乘法表（右图）。八元数是一种迷人的数学结构，但为无数可能的物理应用提供了非唯一解。从某种程度上来说，这是每个物理系学生第一次计算物体被抛向空中的轨迹时学到的一课。物体会飞多远？它会落在哪里？它会在空中停留多长时间？当你解出控制这些物体的数学方程式——牛顿运动方程式时，你得不到唯一的“答案”。你会得到两个可能的数学答案。但实际上，只有一个物体。它只遵循一条轨迹，在特定时间降落在一个位置。哪个答案与现实相对应？数学不会告诉你。为此，你需要了解所讨论的物理问题的细节，因为只有这样才能告诉你哪个答案背后有物理意义。数学会让你在这个世界上走得很远，但它不会带给你一切。没有面对现实，你就不可能理解物理宇宙。--------------------------------本文转自公众号一座宁静的书屋

知乎提问：奥数热对中国数学是利还是弊？我的回答：这个问题对于以不同目的学数学的人，自然会有不同的答案。对于那些以升学为目的、普通家庭的学生，或许是多一条改变命运的路，不至于只有中考、高考一条路。不过由于奥数热，这条路的内卷程度甚至比高考还厉害，因为名额很少，但却这么多人在争。而普通家庭的学生没有什么教育资源的优势，加入这条道路不仅要花费大量时间精力以及金钱，还因为无法兼顾正常课导致无法中考或高考。因此整体上而言对于以升学为目的、普通家庭的学生，我认为是弊大于利，绝大多数学生只会成为“炮灰”。对于那些不以升学为目的，热爱数学的普通家庭学生，这也不见得是好事。因为热爱数学的学生，不一定对奥数感兴趣，加之奥数本身所倡导的竞技性，说真的压根不能算是正常的数学，只能说是把体育竞技带进了数学（奥数全称奥林匹克数学竞赛），只会让真正热爱数学的人心生厌恶，奥数热所带来的社会风气，哪怕是以升学为目的、热爱数学的普通家庭学生，奥数热也只会让真正想学数学的人无暇关注数学本身，从而分神在无意义的数学竞技中。数学研究不是竞技，那是探索未知，两者完全不在一个频道上。因此，整体上说奥数热对热爱数学的普通家庭学生，我认为是弊大于利。最后我思来想去，奥数热的既得利益者，应该是包括以升学为目的、数学应试能力极强、有一定教育资源的学生。为什么不说数学天赋很强，我认为没有什么必然关系，你不能说陶哲轩拿过奥数金牌，就说反过来说奥数厉害的数学天赋都很高，只能说数学竞技、应试能力很强，这是竞技天赋，严格来说不算数学天赋。以培养奥数学生为目的赚钱的奥数教育机构，这已经是一条成熟的产业链了吧，利益强相关。所以之前Yau搞自己的竞赛，搞个Yau版升学通道，也被当面质问说砸了别人饭碗。热爱数学且应试能力极强、有教育资源的学生，通过奥数的方式完成升学目的，从而获得更好的学术资源。这类学生虽然也是以升学为目的，但是更好的升学能让他获得更优质的资源，在这个制度下算是最优解。这里不包括家庭条件优越的学生，不仅仅是家庭条件好，是优越，这种学生应该也不需要奥数来帮助自己升学从而获得好的学术资源了。不需要考虑升学、热爱数学、家庭条件优越的学生，可以说这是最理想的状态了，能够以最纯粹的方式学数学，外界如何如何于他而言没有任何关系，他只需要关心数学本身即可。

例如分析学可以再分支成微积分，实分析，复分析等等这样。不然的话例如一些比较基础简单的文章可能会格格不入，并且初学者可能是只学习简单的内容，但是圈子里都是高难度的。或者类似地划分内容和难度？？