我的提问：定理 22.3（定义域的光滑不变量）令$U \subset\mathbb{R}^n$为一个开子集，$S \subset\mathbb{R}^n$为一个任意子集，并且$f : U \rightarrow S$是一个微分同胚。那么$S$在$\mathbb{R}^n$中是开集。我无法理解为何集合$S$在$\mathbb{R}^n$中并不是自动开的。映射$f$是一个微分同胚，这意味着它在两个方向都是连续的，所以$S$是开的。回答：首先你所知道的是$U$中的开集$V$满足：$f(V)$在$S$中开，不是$f(V)$在$\mathbb{R}^n$中开。所以$f(U)=S$是在$S$中开。那个推断是说接着$f(U)=S$自动在$\mathbb R^n$中开，这是不一样的并且不是自动的。它需要证明。PS：这里说的是拓扑学中关于开集的一个重要盲点，即开集是相对的。尤其是考虑某个拓扑空间中的子集，要弄清楚究竟是在子集内开，还是在全空间内开。

又是枯燥的一天，今天我重回代数拓扑，重新搞懂了一些以前不懂的东西。在这里我不得不吐槽一下，代数拓扑是真的难学，虽然这可能是因为我选的教材的原因，因为我更加喜欢内容简洁直奔主题的书，不喜欢总是废话一大篇的内容，不过这却更加增强了内容的抽象程度，也意味着更大的挑战。我看过几本关于代数拓扑的书，但目前我就在用Tammo Tom Dieck的Algebraic Topology这本书。首先这本书是不适合初学者的，因为它需要一定的一般拓扑学的基础，而且如同我上面所说的一样，这本书作者说的话非常地精炼，加上基本上纯文字叙述，显得抽象性非常地高。同时，书本中的很多命题都没有证明，有些应该是结论的命题直接出现在正文的叙述中，默认读者已知。这无不给读者增添了难度。重回主题，今天我学代数拓扑，在复习连通空间的过程中，遇到几个怎么想都想不懂的问题，然后我果断打开维基搜索connected space，并查阅其它书籍，发现我的问题跟connected space的两个命题有关，其中有个还没有证明。于是，我犹豫了几下，果断开始尝试自己证明，放弃去查找证明，就当作自己平时的练习吧。其实数学证明有时候是不需要动笔写的，直接脑子过一遍证出来就过了。不过这次我还是尝试写一写完整的证明，毕竟写论文的时候还是需要有完整的证明的，不会写就完蛋了。第一个命题，我花了一分钟左右就直接证完了，非常地简单，这有点出乎我的意料，因为写之前我几乎没有任何头绪。第二个命题我在证之前先自己写个类似的命题去证，结果最后一步卡住了证不出矛盾，于是我改回原来的条件，瞬间就证出来了。其实正如Deligne所说：All the mathematical problems are psychological。所有的数学问题都是心理上的。遇到这两个命题时我毫无头绪，也不知如何下手。但接下来我克服心理障碍，尝试动笔去证出来，最后两个命题都用反证法给证出来了，整个过程行云流水，因为数学本就是自然的。所以，别再说什么学数学秃头了，学数学最大的困难就是心理障碍而已。图1 拓扑学关于连通性的两个命题的证明图2 维基百科连通空间图3 连通空间的一个命题——————————————————————————本文原于2020年9月1日 23:57发布于QQ空间

以及有没有推荐的点集拓扑教材