Map (Mapping)
In many branches of mathematics, the term map is used to mean a function, sometimes with a specific property of particular importance to that branch. For instance, a "map" is a "continuous function" in topology, a "linear transformation" in linear algebra, etc.
In differential geometry, one may use "function" only to refer to maps in which the codomain is a set of numbers (i.e. a subset of $\mathbb R$ or $\mathbb C$), and reserve the term mapping for more general functions.
In category theory, "map" is often used as a synonym for "morphism" or "arrow", which is often a structure-respecting function and thus may imply more structure than "function" does.
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国内外关于“函数”与“映射”定义的差别
函数=映射：在中国的高中教材中，函数被定义为两个非空数集之间的一种对应关系，而映射则被定义为两个非空集合之间的一种对应关系（事实上，这两个集合完全可以是空集）。但其实这两个定义可以说已经过时了，如今在英文中函数function，其实就相当于我们中文的映射。而英文中映射mapping或者map，它的意思就广了，它既可以是function的同义词；也可以相当于function的推广，即范畴中两个任意对象之间的态射morphism（参见范畴论，懒得举例子），它比function要更加general，即function只是morphism的一种特殊情况。废话不多，所以结论就是，函数function其实就是两个集合之间的映射（集合未必非空）。PS：说着说着突然感觉有点绕，意思理解就好。。因此可以说国内的高中数学教材并没有顺着国际的潮流还有惯例走，自己说自己的一套，而且说得还不怎么好——有框死一个学生思维的缺点。参考文献： https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics)#Relational_approach https://en.wikipedia.org/wiki/Map_(mathematics)图1 维基百科关于映射的定义图2 维基百科关于函数的定义——————————————————————PS：关于范畴论的简单介绍，请看 A short introduction to category theory本文原于2020年8月9日 16:49发布于QQ空间。自己评论：个人建议如果查学术之类的东西还是最好用维基百科吧，感觉百度百科并不怎么可靠，而且有些内容还有抄袭wiki的嫌疑。。顺便一提，维基需要翻墙才能上。。
2024-10-09 21:35:06