拓扑空间
拓扑空间是数学空间的最一般形式，它允许定义极限、连续性和连通性。拓扑空间常见的类型包括欧几里得空间、度量空间和流形。
定义
令$X$为一个集合并且$\tau$是$X$子集的一个集合。$\tau$被称为$X$上的一个拓扑，且它里面的元素被叫做开集，如果它满足以下公理：
（1）$X,\varnothing$都是开集；
（2）任意有限开集的交集是开集；
（3）任意开集的并集是开集。
一个拓扑空间是一个有序对$(X,\tau)$，它由一个集合$X$和$X$上的一个拓扑组成。如果没有歧义，我们一般就用$X$来代表它。
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一个关于定义域光滑不变量的问题
我的提问：定理 22.3（定义域的光滑不变量）令$U \subset\mathbb{R}^n$为一个开子集，$S \subset\mathbb{R}^n$为一个任意子集，并且$f : U \rightarrow S$是一个微分同胚。那么$S$在$\mathbb{R}^n$中是开集。我无法理解为何集合$S$在$\mathbb{R}^n$中并不是自动开的。映射$f$是一个微分同胚，这意味着它在两个方向都是连续的，所以$S$是开的。回答：首先你所知道的是$U$中的开集$V$满足：$f(V)$在$S$中开，不是$f(V)$在$\mathbb{R}^n$中开。所以$f(U)=S$是在$S$中开。那个推断是说接着$f(U)=S$自动在$\mathbb R^n$中开，这是不一样的并且不是自动的。它需要证明。PS：这里说的是拓扑学中关于开集的一个重要盲点，即开集是相对的。尤其是考虑某个拓扑空间中的子集，要弄清楚究竟是在子集内开，还是在全空间内开。