Number theory

编辑 变更圈子

查看历史

分享

举报

我的提问：众所周知$\mathbb{Q}_{p}(p^{1/p^{\infty}})$被定义为$\bigcup_{n>0} \mathbb{Q}_{p}(p^{1/p^{n}})$，意思是邻接所有$p$的$p$幂根（$p$-power roots of $p$）到混合特征域$\mathbb{Q}_{p}$。然而，我不太懂这个符号的意思$\mathbb{Q}_{p}(p^{1/p^{n}})$。这是如何联系到$p$的$p$幂根的？为何在这个记号中，$p$的幂是$1/p^{n}$？我认为$\mathbb{Q}_{p}(p^{1/p^{n}})$是$\mathbb Q_p$的一个割圆扩张，其中$p^{1/p^{n}}$是$n$次单位本原根（primitive $n$th root of unity）。但是似乎这说不通。并且我在另一个回答中看到$\mathbb{Q}_{p}(p^{1/p^{n}})$是一个分歧扩张（ramified extension）。谁能告诉我在哪里可以了解$\mathbb{Q}_{p}(p^{1/p^{n}})$？回答1：根据定义，$\Bbb Q_p(p^{1/p^n}) \cong \Bbb Q_p[X]/\langle X^{p^n} - p \rangle$。回答2：记号$F(a^{1/d})$表示该域是由邻接$x^d-a$的解到$F$上得到的。这就好像$a^{1/2}$是$\sqrt{a}$一样：非常标准的代数记号。记号$p^{1/d}$是$x^d-p$的根，不是$x^d-1$的。我想$F$的一个割圆扩张可以写成$F(1^{1/d})$，意思是你邻接的是一个$d$次单位根。为什么你会觉得$p^{1/d}$（假设$d = p^n$）会是一个单位根，而不是一个$p$的$d$次方根？本问题提问于2021年5月29号，此时作者正在读大一，正为如何入门Peter Scholze的Perfectoid geometry感到迷茫。