定义

一个群是一个有序对$(G, \cdot)$，它由一个集合$G$和一个二元运算$\cdot: G\times G\rightarrow G, (a,b)\mapsto a\cdot b$组成，并且满足以下公理：

1. （结合性）$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$对所有$a,b,c\in G$。
2. （单位元）存在唯一一个$e\in G$使得对每一个$x\in G$，都有$x\cdot e=e\cdot x=x$。这个唯一的元素$e$被称为$G$的单位元。
3. （逆元素）对每个$x\in G$，存在某个$y\in G$使得$x\cdot y=y\cdot x=e$。在这里，$y$被称为$x$的逆元素，并通常被记作$x^{-1}$。

通过滥用记号，我们就用$G$表示一个群。