This short note originated from a short talk of basic category theory in 2022. Category theory was first introduced by Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane in the 20th century. It rapidly became a strong tool in almost all domains of mathematics. Category theory studies the abstract structures of different mathematical objects, and it also has applications on computer science, including AI.1. CategoriesIn this section, we will first lay out the general definition of categories, then we give some concrete and common examples of categories.Definition 1. A category $\mathcal{C}$ consists of the following data:A class of objects, denoted by ${\rm{Ob}}(\mathcal{C})$.To each pair of objects $A, B$, a set ${\rm{Hom}}(A, B)$ of morphisms from $A$ to $B$.To each triple of objects $A, B, C$, a composition law $${\rm{Hom}}(A,B)\times {\rm{Hom}}(B, C)\longrightarrow {\rm{Hom}}(A, C),\ (f,g)\longmapsto f\circ g.$$Moreover, it subjects to the following axioms:(1) Composition is associative, i.e. $(f\circ g)\circ h = f\circ (g\circ h)$ for morphisms $f,g,h$.(2) For each object $A$, there is a unique identity morphism $1_{A}: A\rightarrow A$ such that $1_{A}\circ f=f\circ 1_{A}$ if the composition makes sense.Examples 2. (1) The category $\textbf{Sets}$ of sets, whose objects are sets and morphisms are functions.(2) The category $\textbf{Groups}$ of groups, whose objects are groups and morphisms are homomorphisms.(3) The category $\textbf{Ab}$ of abelian groups, whose objects are abelian groups and morphisms are homomorphisms.By Example 2 (3), one can observe that ${\rm{Ob}}(\textbf{Ab})\subset{\rm{Ob}}(\textbf{Groups})$, and for any $x,y\in{\rm{Ob}}(\textbf{Ab})$, ${\rm{Hom}}_{\textbf{Ab}}(x,y)={\rm{Hom}}_{\textbf{Groups}}(x,y)$. This leads to the definition of subcategories.Definition 3. Let $\mathcal{C}$ be a category. A subcategory of $\mathcal{C}$ is a category $\mathcal{D}$ such that ${\rm{Ob}}(\mathcal{D})\subset{\rm{Ob}}(\mathcal{C})$ and ${\rm{Hom}}_{\textbf{Ab}}(x,y)\subset{\rm{Hom}}_{\textbf{Groups}}(x,y)$ for all $x,y\in{\rm{Ob}}(\mathcal{D})$. The subcategory $\mathcal{D}$ is said to be full if we have ${\rm{Hom}}_{\mathcal{D}}(x,y)\cong{\rm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)$ for all $x,y\in{\rm{Ob}}(\mathcal{D})$.An invertible morphism in a category is the so-called isomorphism.Definition 4. Let $\mathcal{C}$ be a category and $f$ is a morphism in $\mathcal{C}$. We say that $f$ is an isomorphism if there is a morphism $g$ in $\mathcal{C}$ such that $f\circ g=1$ and $g\circ f=1$ when the composition makes sense. The morphism $g$ is called the inverse of $f$ and is denoted by $f^{-1}$.2. FunctorsLike objects in the category, we could define transformations between categories. In fact, one could view categories as objects of some bigger category.Definition 5. Let $\mathcal{C}$ and $\mathcal{D}$ be categories. A functor $F:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ is an assignment that To each $x\in{\rm{Ob}}(\mathcal{C})$, it assigns $Fx\in{\rm{Ob}}(\mathcal{D})$.For all $x,y\in{\rm{Ob}}(\mathcal{C})$ and $f\in{\rm{Hom}}_{\mathcal{C}}(x,y)$, it assigns $F(f)\in{\rm{Hom}}_{\mathcal{D}}(Fx,Fy)$ such that $F(1)=1$ and $F(fg)=F(f)F(g)$ when the composition makes sense.A contravariant functor is a functor $G:\mathcal{C}^{opp}\rightarrow\mathcal{D}$.

我的提问：众所周知，范畴中对象之间的态射都是保持结构的。但是在一本教材中，我发现它说态射一般是保持结构的。这是否意味着存在不保持结构的态射？回答1：一个范畴不需要非得由带有某些额外结构的集合与保持这个结构的映射构成。不是这种类型的范畴的例子有：给定任意一个群$G$，我们可以构造一个范畴，它由一个对象$*$和每个$g\in G$的一个态射$\varphi_g\colon *\to *$组成。这里，态射的复合通过群运算来定义，并且$\operatorname{id}_* = \varphi_{e}$对于单位元$e\in G$。给定一个偏序集$(P,\le)$，我们可以构造一个范畴，它由对象集$P$和每个满足$x\le y$的$x,y\in P$有且仅有一个的态射$x\to y$组成。拓扑空间的同伦范畴，它的对象都是拓扑空间，每个态射$X\to Y$是一个连续映射$f\colon X\to Y$的同伦群$[f]$。回答2：我认为问题出在这里众所周知，范畴中对象之间的态射都是保持结构的。事实并非如此。范畴这个概念推广了“带有结构的集合和保持结构的函数”，例如群和同态，或者拓扑空间和连续映射。但是一般性的程度是极端的：范畴的对象甚至不需要是集合，然后范畴的态射不需要是函数。比如，每一个幺半群可以看成是一个单对象的范畴，其中幺半群里的元素都是从单个对象到自身的态射。在这个情况下，“对象”只是一个占位符——它没有“结构”的概念——并且态射无疑都不是函数（一般来说）。“看起来像”带结构的集合与保持结构的态射的范畴被称作具体范畴。意思是范畴$\mathcal{C}$装备了一个忠实函子$U : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$。$\mathcal{C}$的一个对象$A$可以看成拥有一个“支集”（'underlying set'）$U(A)$，并且一个态射$f : A \to B$可以看成拥有一个“支函数”（'underlying function'）$U(f) : U(A) \to U(B)$。然而具体范畴仍然比带结构的集合与保持结构的态射更一般。毕竟实际上并没有提到任何关于结构的东西。本问题于2019年2月19号提问于MathStackExchange，当时我正在读高中，因为得兼顾高考，我并没有多少时间来研究数学，所以当时的数学水平一直不让自己满意，但也没办法。

令$A,B$为特征$p$的交换环。令$\phi_{A}:A\rightarrow A,\phi_{B}:B\rightarrow B$为Frobenius态射，即$p$次方映射。如果我们有 ${\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}A\cong {\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}B$，其中transition映射为Frobenius态射，那么我们可以得出$A\cong B$吗？答案：不能。回顾一下，一个$\mathbb{F}_p$-代数$R$是完美的，如果它的Frobenius映射$\varphi : R \ni r \mapsto r^p \in R$是一个同构。Frobenius态射的次方的余极限${\rm{colim}}_{n\in\mathbb{N}}R$是$\mathbb{F}_p$-代数$R$的完美化，并且它这样命名是因为它是完美$\mathbb{F}_p$-代数到$\mathbb{F}_p$-代数的包含映射的左伴随。这使得完美$\mathbb{F}_p$-代数构成了一个$\mathbb{F}_p$-代数的反射子范畴，这意味着在完美化下，任何完美的$\mathbb{F}_p$-代数固定不变。这是接下来更加具体的反例的所有抽象背景：取$A = \mathbb{F}_p[x]$，它的完美化是$\mathbb{F}_p[x^{\frac{1}{p^{\infty}}}]$，这是一个通过邻接所有$x$的$p^n$次方根得到的环。然后取$B = \mathbb{F}_p[x^{\frac{1}{p^{\infty}}}]$为$A$的完美化。更一般的，我们可以取$A$为任何不完美的$\mathbb{F}_p$-代数，然后取$B$为它的完美化。Bhatt写的notes中的Remark 1.4前有一个更加一般的论断，这是关于什么时候两个代数有同构的完美化。但是我对泛同胚还不够熟悉，无法对此发表任何评论。

我的提问：令$\cal{C},\cal{D}$为范畴（或者栈）。令$F:\cal{C}\rightarrow\cal{D}$是一个本质满射的函子，即在对象同构类上满射。然后$F$是小范畴（或者栈）范畴中的一个满态射吗？回答：不是。例如，任何一个对象的范畴之间的函子是本质满射的，但是如果$M_1, M_2$是两个非零幺半群，那么一个直和项的包含映射$M_1 \to M_1 \oplus M_2$，看成是两个单对象范畴间的一个函子，不是一个范畴的满态射。不过记住，“小范畴范畴中的满态射”由于多种原因，在任何特定应用中，都显然不是“正确”的概念。它抛弃了自然变换，所以你忽略了这样一个事实，即你其中在2-范畴里操作；并且在任何特定情况下，你可能需要各种“满态射”的概念。

我的提问：令$S$为一个基概形，并令$(Sch/S)_{fppf}$为一个大fppf景。令$U$为一个$S$上的概形。假设存在一个满射态射$\Phi_{U}:U\rightarrow U$。那么我们能证明导出的层态射$h_{U}\rightarrow h_{U}$局部满射的？这看起来是错误的。注意到$h_{U}={\rm{Hom}}(-,U)$是一个可代表层。一个$(Sch/S)_{fppf}$上的层映射$F\rightarrow G$是局部满射的，如果对每个概形$U\in{\rm{Ob}}((Sch/S)_{fppf})$和每个$s\in G(U)$，都存在一个覆盖$\{U_{i}\rightarrow U\}_{i\in I}$，使得对所有$i$，$s|_{U_{i}}$在$F(U_{i})\rightarrow G(U_{i})$的像中。回答：令$S:={\rm Spec}(k)$为一个域，并且令$U={\rm Spec}(k[t]/t^2)$。环$k[t]/t^2$是一个$k$-代数，并且存在一个$k$-代数映射$k[t]/t^2\to t$，其将$t$打到$0$，所以我们得到态射$U\to{\rm Spec}(k)$和${\rm Spec}(k)\to U$。令$a:U\to U$为这两个态射的复合。这是满射的。现在如果你问题的答案是正确的，则存在一个忠实平坦态射$b:V\to U$和一个元素$\rho\in{\rm Hom}(V,U)$使得$a\circ\rho=b$（将局部满射性用于${\rm Id}_U\in{\rm Hom}(U,U)$）。换句话说，态射$a_V:U\times_U V\to V$有一个截面。然而如果态射$a_V$有一个截面，那么由态射$S={\rm Spec}(k)\to U$的基变换得出的态射$S\times_U V\to V$，也有一个截面。态射$S\times_U V\to V$是一个闭浸入，因此由于它有一个截面，它是一个同构。同构沿着忠实平坦态射下降，所以我们推断出${\rm Spec}(k)\to U$是一个同构，这是错误的。所以这提供了一个反例。

我的提问：令$\cal{C}$和$\cal{D}$为两个群胚，即态射都是同构的范畴。令$F:\cal{C}\rightarrow\cal{D}$为一个从$\cal{C}$到$\cal{D}$的全忠实函子。然后$F$在对象上单射吗？换句话说，对象函数$F:{\rm{Ob}}(\cal{C})\rightarrow{\rm{Ob}}(\cal{D})$是单射的？回答：不是。给定任意一个集合$X$，我们可以构造一个叫做$X$上的非离散群胚的群胚，它对$x, y \in X$都有一个唯一的同构$x \to y$。每一个集合间的函数$f : X \to Y$都能导出一个非离散群胚之间的全忠实函子，不管$f$是否是单射的。事实是范畴（不一定群胚）间的一个全忠实函子$F : C \to D$能导出一个对象同构类上的单射。想知道为何，令$i : F(c_1) \cong F(c_2)$为一个同构。因为$F$是全的，$i = F(i')$对某个$i' : c_1 \to c_2$，然后类似的$i^{-1} = F(j)$对某个$j : c_2 \to c_1$。于是，我们有$F(i' \circ j) = F(i') \circ F(j) = \text{id}_{F(c_2)} = F(\text{id}_{c_2})$，所以由于$F$是忠实的，$i' \circ j = \text{id}_{c_2}$，然后另一个复合是类似的。因此$j = (i')^{-1}$并且$i' : c_1 \cong c_2$是一个同构。（在非离散群胚中，每个对象都被构造成同构的。）

我的提问：令$X,Y$是概形。令$X\rightarrow Y,X\rightarrow X, Y\rightarrow Y$为概形态射。为什么态射$U\times_{X}X\rightarrow U\times_{Y}Y$是$X\rightarrow X\times_{Y}Y$通过$U\times_{Y}Y\rightarrow Y$的基变换。这是我尝试的图，其中三角形是交换的。但是我发现$(U\times_{Y}Y)\times_{Y}(X\times_{Y}Y)=U\times_{Y}X\times_{Y}Y=U\times_{Y}X$，即我无法得到想要的$U\times_{X}X$。我这是犯了什么错误？这是问题的上下文，来自朱歆文的论文Affine Grassmannians and the geometric Satake in mixed characteristic (arXiv link)：引理 A.2. 对任何代数空间的平展态射$X\to Y$，由$\sigma_X$导出的相对Frobenius态射$X\to X\times_{Y,\sigma_Y}Y$是一个同构。证明：我们首先假设$X$是一个概形。那么$X\to X\times_{Y,\sigma_Y}Y$是一个概形的、根本的、平展的、满的（schematic radical étale surjective）映射，并且因此由[EGAIV，定理 17.9.1]是一个同构。对于一般的$X$，选择一个通过概形$U$的平展覆盖$U\to X$。然后我们有$U\to U\times_{X,\sigma_X}X\to U\times_{Y,\sigma_Y}Y$，其中第一个映射和复合的映射都是同构。因此，第二个映射也是同构。注意到$U\times_{X,\sigma_X}X\to U\times_{Y,\sigma_Y}Y$其实就是$X\to X\times_{Y,\sigma_Y}Y$沿着平展覆盖$U\times_{Y,\sigma_Y}Y\to Y$的基变换。因此，$X\to X\times_{Y,\sigma_Y}Y$也是一个同构。回答：图比你正在使用的要复杂些。首先，我们有一个定义$X\times_{Y,\sigma_Y} Y$的基变换图如下：$$\require{amscd}\begin{CD} X\times_{Y,\sigma_Y} Y @>>> Y\\ @VVV @VV{\sigma_Y}V \\ X @>>> Y \end{CD}$$态射$X\to X\times_{Y,\sigma_Y} Y$是由单位态射$X\to X$，态射$X\to Y$，以及纤维积的泛性质所导出的。定义$U\times_{Y,\sigma_Y} Y$的图如下：$$\begin{CD} U\times_{Y,\sigma_Y}Y @>>> X\times_{Y,\sigma_Y} Y @>>> Y\\ @VVV @VVV @VV{\sigma_Y}V \\ U @>>> X @>>> Y \end{CD}$$现在通过映射$U\times_{Y,\sigma_Y} Y\to Y$基变换整个第一个图加上导出的态射$X\to X\times_{Y,\sigma_Y} Y$来得到断言的映射。本文是What is base change map ?的灵感来源，正是因为有了这个提问，才有那篇短文的进一步解释。