Manitori

我的提问：定理 22.3（定义域的光滑不变量）令$U \subset\mathbb{R}^n$为一个开子集，$S \subset\mathbb{R}^n$为一个任意子集，并且$f : U \rightarrow S$是一个微分同胚。那么$S$在$\mathbb{R}^n$中是开集。我无法理解为何集合$S$在$\mathbb{R}^n$中并不是自动开的。映射$f$是一个微分同胚，这意味着它在两个方向都是连续的，所以$S$是开的。回答：首先你所知道的是$U$中的开集$V$满足：$f(V)$在$S$中开，不是$f(V)$在$\mathbb{R}^n$中开。所以$f(U)=S$是在$S$中开。那个推断是说接着$f(U)=S$自动在$\mathbb R^n$中开，这是不一样的并且不是自动的。它需要证明。PS：这里说的是拓扑学中关于开集的一个重要盲点，即开集是相对的。尤其是考虑某个拓扑空间中的子集，要弄清楚究竟是在子集内开，还是在全空间内开。

关键词：Homotopy, Homology, Groupoid, Foundamental Group, Van Kampen Theorem, Covering Space, Covering Projection, Fibration with unique path lifting, Cofibration.Tammo tom Dieck 在他的代数拓扑教材中写了非常漂亮的前言，在点出代数拓扑精髓的同时还包含一些形而上学的哲思，并且简略地介绍了代数拓扑里面的两个核心词汇，同伦(homotopy) 跟同调 (homology)。我简要地部分翻译如下：代数拓扑是连续数学跟离散数学交相辉映的学科。在连续数学里面，我们用拓扑空间和连续映射这样普遍的形式语言将其公理化。而离散数学则是被我们用来表达代数和组合概念的。在数学语言中，我们用实数来概念化连续形式，但我们建立实数时却是要用到整数。下面举个例子，我们直觉地认为时间是一个连续的没有间断的流动过程，是由一系列不停止的瞬间后继构成的。但在实践中，我们却使用被定义为有周期性的离散模型工具跟自然过程。同样地，我们意识到空间是一个连续体，但我们 ...

又是枯燥的一天，今天我重回代数拓扑，重新搞懂了一些以前不懂的东西。在这里我不得不吐槽一下，代数拓扑是真的难学，虽然这可能是因为我选的教材的原因，因为我更加喜欢内容简洁直奔主题的书，不喜欢总是废话一大篇的内容，不过这却更加增强了内容的抽象程度，也意味着更大的挑战。我看过几本关于代数拓扑的书，但目前我就在用Tammo Tom Dieck的Algebraic Topology这本书。首先这本书是不适合初学者的，因为它需要一定的一般拓扑学的基础，而且如同我上面所说的一样，这本书作者说的话非常地精炼，加上基本上纯文字叙述，显得抽象性非常地高。同时，书本中的很多命题都没有证明，有些应该是结论的命题直接出现在正文的叙述中，默认读者已知。这无不给读者增添了难度。重回主题，今天我学代数拓扑，在复习连通空间的过程中，遇到几个怎么想都想不懂的问题，然后我果断打开维基搜索connected space，并查阅其它书籍，发现我的问题跟connected space的两个命题有关，其中有个还没有证明。于是，我犹豫了几下，果断开始尝试自己证明，放弃去查找证明，就当作自己平时的练习吧。其实数学证明有时候是不需要动笔写 ...