下面我来讲一下我对Grothendieck universes粗浅的理解。首先，我们知道当年Cantor的朴素集合论是有漏洞的，这些漏洞所衍生出的悖论，比如罗素悖论，引发了第三次数学危机。后来为了解决这些问题，发展出了诸多新的理论，其中一个就是如今也经常使用的ZFC公理系统。在ZFC框架下，所有的数学对象都是集合，而所谓的所有集合的“集合”严格来说不是一个数学对象，它不能构成一个集合，那么我们称它为一个class。class的定义很明了，它的成员就是所有享有某些共同性质的数学对象，其实就是最初对集合的定义，现在区分开来，因为它不一定构成一个集合。如果一个cass不能构成一个集合，我们称它为一个proper class。

接一下来，来到Grothendieck universes，它是上个世纪60年代由Grothendieck提出来的用来避免proper classes的。Grothendieck universe是一个非空集合，在这个集合里面，所有通常的集合的运算封闭，比如说取一个集合里的元素、索引并集将两个元素构成一个集合等，这样在计算中就不用担心出现不构成集合的情况。后面，Grothendieck还加了两条公理，分别是U A和U B，其中U A如今比较常用，比如在范畴论中，该公理就是每个集合都包含于某个Grothendieck universe中。

其实关于class和集合，这是很重要的两样不同的东西，有必要加以区分，在写作的时候需要说明清楚。比如说，在范畴论中，我们有big category和small category,其中big category就是所有对象构成class的范畴，small category就是所有对象构成集合的范畴。但是写作的时候我们一般从头到尾都只会用到一种范畴，因此会特此说明我们的范畴是指什么什么。

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本文原于2021年12月26日发布于QQ空间